पूर्णतः यादृच्छिक डिजाइन (Completely Randomized Design - CRD)

व्याख्यान 15 (Lecture 15)

पूर्णतः यादृच्छिक डिजाइन (Completely randomized design) - विवरण (description) - लेआउट (layout) - विश्लेषण (analysis) - लाभ (advantages) और हानियां (disadvantages)

पूर्णतः यादृच्छिक डिजाइन (Completely Randomized Design - CRD)

CRD बुनियादी एकल कारक डिजाइन (basic single factor design) है। इस डिजाइन में उपचार (treatments) पूरी तरह से यादृच्छिक (random) रूप से सौंपे जाते हैं ताकि प्रत्येक प्रायोगिक इकाई (experimental unit) में किसी भी उपचार को प्राप्त करने का समान अवसर (same chance) हो। लेकिन CRD केवल तभी उपयुक्त होता है जब प्रयोगात्मक सामग्री समरूप (homogeneous) हो। चूंकि कई कारकों के कारण प्रायोगिक भूखंडों के बीच आम तौर पर बड़ी भिन्नता (large variation) होती है, इसलिए क्षेत्रीय प्रयोगों (field experiments) में CRD को प्राथमिकता नहीं दी जाती है।

प्रयोगशाला प्रयोगों (laboratory experiments) और ग्रीनहाउस अध्ययनों (greenhouse studies) में प्रयोगात्मक सामग्रियों की एकरूपता (homogeneity) प्राप्त करना आसान है और इसलिए ऐसे प्रयोगों में CRD सबसे उपयोगी है।

CRD का लेआउट (Layout of a CRD)

पूर्णतः यादृच्छिक डिजाइन (Completely randomized Design) वह है जिसमें सभी प्रयोगात्मक इकाइयों को एक ही समूह (single group) में लिया जाता है जो जहां तक संभव हो समरूप (homogeneous) होती हैं।

विभिन्न इकाइयों को उपचार आवंटित करने के लिए यादृच्छिकीकरण प्रक्रिया (randomization procedure) इस प्रकार होगी:

  1. चरण 1 (Step 1): प्रयोगात्मक इकाइयों की कुल संख्या निर्धारित करें।
  2. चरण 2 (Step 2): सभी पंक्तियों के लिए बाएं से दाएं शुरू करते हुए प्रत्येक प्रयोगात्मक इकाई को एक प्लॉट नंबर (plot number) असाइन करें।
  3. चरण 3 (Step 3): यादृच्छिक संख्याओं (random numbers) का उपयोग करके प्रयोगात्मक इकाइयों को उपचार निर्दिष्ट (Assign) करें।

प्रति इकाई एक अवलोकन के साथ CRD के लिए सांख्यिकीय मॉडल (The statistical model for CRD)

$$ Y_{ij} = \mu + t_i + e_{ij} $$

CRD में डेटा की व्यवस्था (The arrangement of data in CRD)

उपचार (Treatments) \( T_1 \) \( T_2 \) \( \dots \) \( T_i \) \( \dots \) \( T_k \)
अवलोकन (Observations) \( y_{11} \) \( y_{21} \) \( \dots \) \( y_{i1} \) \( \dots \) \( y_{k1} \)
\( y_{12} \) \( y_{22} \) \( \dots \) \( y_{i2} \) \( \dots \) \( y_{k2} \)
\( \dots \) \( \dots \) \( \dots \) \( \dots \) \( \dots \) \( \dots \)
\( y_{1r_1} \) \( y_{2r_2} \) \( \dots \) \( y_{ir_i} \) \( \dots \) \( y_{kr_k} \)
कुल (Total) \( Y_1 \) \( Y_2 \) \( \dots \) \( Y_i \) \( \dots \) \( Y_k \)

सभी का कुल योग (Grand Total) = GT

शून्य परिकल्पना (null hypothesis) होगी:
\( H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k \) (यानी उपचारों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है)

वैकल्पिक परिकल्पना (alternative hypothesis) होगी:
\( H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \dots \neq \mu_k \) (यानी उपचारों के बीच महत्वपूर्ण अंतर है)

CRD के लिए प्रसरण तालिका के विश्लेषण (ANOVA) बनाने के विभिन्न चरण:

1. सुधार कारक (Correction Factor - CF):

$$ CF = \frac{(GT)^2}{N} $$

जहाँ \( N = \) अवलोकनों की कुल संख्या (Total number of observations)

2. कुल वर्गों का योग (Total Sum of Squares - TSS):

$$ TSS = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{r_i} y_{ij}^2 - CF $$

3. उपचार वर्गों का योग (Treatment Sum of Squares - TrSS):

$$ TrSS = \sum_{i=1}^{k} \frac{Y_i^2}{r_i} - CF $$

4. त्रुटि वर्गों का योग (Error Sum of Squares - ESS):

$$ ESS = TSS - TrSS $$

5. निम्नलिखित एनोवा (ANOVA) तालिका बनाएं और F मान की गणना करें:

विविधता के स्रोत (Source of variation) स्वतंत्रता की कोटि (d.f.) SS (वर्गों का योग) MS (माध्य वर्ग) F (परिकलित)
उपचार (Treatments) \( t - 1 \) \( TrSS \) \( TrMS = \frac{TrSS}{t - 1} \) \( \frac{TrMS}{EMS} \)
त्रुटि (Error) \( N - t \) \( ESS \) \( EMS = \frac{ESS}{N - t} \)
कुल (Total) \( N - 1 \) \( TSS \)

6. गणना किए गए F (calculated F) की तुलना उपचार स्वतंत्रता की कोटि और त्रुटि स्वतंत्रता की कोटि के अनुरूप F के महत्वपूर्ण मान (critical value of F) से करें ताकि शून्य परिकल्पना की स्वीकृति या अस्वीकृति (acceptance or rejection) निर्धारित की जा सके।

7. यदि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार (rejected) कर दिया जाता है तो यह इंगित करता है कि विभिन्न उपचारों के बीच महत्वपूर्ण अंतर (significant differences) हैं।

8. क्रांतिक अंतर (Critical Difference - C.D.) मान की गणना करें:

$$ C.D. = SE(d) \times t $$

जहाँ \( SE(d) = \sqrt{EMS \left(\frac{1}{r_i} + \frac{1}{r_j}\right)} \)
\( r_i = \) उपचार \( i \) के लिए प्रतिकृति की संख्या
\( r_j = \) उपचार \( j \) के लिए प्रतिकृति की संख्या
\( t \), 5% या 1% के निर्दिष्ट सार्थकता स्तर (level of significance) पर त्रुटि स्वतंत्रता की कोटि (error degrees of freedom) के लिए महत्वपूर्ण \( t \) मान है।

CRD के लाभ (Advantages of a CRD)

  1. इसका लेआउट बहुत आसान (very easy) है।
  2. इस डिजाइन में पूर्ण लचीलापन (complete flexibility) है यानी प्रत्येक उपचार के लिए उपचारों और प्रतिकृतियों (replications) की किसी भी संख्या का प्रयास किया जा सकता है।
  3. इस डिजाइन में संपूर्ण प्रायोगिक सामग्री (Whole experimental material) का उपयोग किया जा सकता है।
  4. यह डिज़ाइन प्रयोगात्मक त्रुटि (experimental error) के लिए स्वतंत्रता की अधिकतम कोटि (maximum degrees of freedom) प्राप्त करता है।
  5. किसी भी अन्य डिज़ाइन की तुलना में डेटा का विश्लेषण सबसे सरल (simplest) है।
  6. यहां तक कि अगर कुछ मान गायब (missing) हैं तो भी विश्लेषण किया जा सकता है।

CRD के नुकसान (Disadvantages of a CRD)

  1. सभी मामलों में समरूप (homogeneous) प्रयोगात्मक इकाइयों को ढूंढना मुश्किल है और इसलिए अन्य प्रयोगात्मक डिज़ाइनों की तुलना में CRD शायद ही कभी क्षेत्रीय प्रयोगों (field experiments) के लिए उपयुक्त हो।
  2. यह अन्य डिज़ाइनों की तुलना में कम सटीक (less accurate) है।

प्रश्न (Questions)

  1. CRD का उपयोग किसके साथ किया जा सकता है:

    (a) समान प्रतिकृति (Equal replication)
    (b) असमान प्रतिकृति (unequal replication)
    (c) समान और असमान प्रतिकृति (Equal and unequal replication)
    (d) एकल प्रतिकृति (single replication)

    उत्तर (Ans): (c) समान और असमान प्रतिकृति

  2. जब 5 उपचार (treatments) हों और प्रत्येक को 4 बार दोहराया (replicated) गया हो तो प्रायोगिक भूखंडों की कुल संख्या क्या होगी:

    (a) 5
    (b) 4
    (c) 9
    (d) 20

    उत्तर (Ans): (d) 20

  3. CRD में त्रुटि स्वतंत्रता की कोटि (error degrees of freedom) \( rt-1 \) है। असत्य (False) (यह \( n-t \) या \( r(t-1) \) होता है)
  4. CRD को केवल तभी अपनाया जा सकता है जब प्रयोगात्मक सामग्री समरूप (homogenous) हो। सत्य (True)
  5. CRD एक एकल कारक प्रयोग (single factor experiment) है। सत्य (True)
  6. CRD में कुल वर्गों का योग (total sum of squares) उपचार वर्गों का योग (treatment sum of squares), प्रतिकृति वर्गों का योग (Replication sum of squares) और त्रुटि वर्गों का योग (error sum of squares) में विभाजित होता है। असत्य (False) (इसमें प्रतिकृति वर्गों का योग नहीं होता है)
  7. CRD के कोई दो लाभ (advantages) बताइए?
  8. जब CRD में उपचार (treatments) बड़े होते हैं तो प्रयोग की सटीकता (precision) का क्या होगा?
  9. CRD के लेआउट (Layout) की व्याख्या करें?
  10. CRD के सांख्यिकीय मॉडल (statistical model) और एनोवा (ANOVA) की व्याख्या करें?
अस्वीकरण (Disclaimer):
यह स्टडी मटेरियल ICAR के मूल कंटेंट का हिंदी अनुवाद है। हम इसकी पूर्ण सटीकता के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। यह फाइल अभी केवल सुधार और परीक्षण (Improvement Purpose) के लिए यहाँ उपलब्ध कराई गई है। बहुत जल्द हम इसे डाउनलोड करने के लिए PDF फॉर्मेट में अपडेट करेंगे।

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