सहसंबंध (Correlation)

व्याख्यान 12 (Lecture 12)

सहसंबंध (Correlation) - परिभाषा - प्रकीर्ण आरेख (Scatter diagram) - पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (Pearson’s correlation co-efficient) - सहसंबंध गुणांक के गुण (properties of correlation coefficient)

सहसंबंध (Correlation)

सहसंबंध (Correlation) दो या दो से अधिक चरों (variables) के बीच संबंध का अध्ययन है। जब भी हम कोई प्रयोग (experiment) करते हैं तो हम अधिक संबंधित चरों पर जानकारी एकत्र करते हैं। जब दो संबंधित चर होते हैं तो उनके संयुक्त वितरण (joint distribution) को द्वि-चर प्रसामान्य वितरण (bivariate normal distribution) के रूप में जाना जाता है और यदि दो से अधिक चर होते हैं तो उनके संयुक्त वितरण को बहुभिन्नरूपी प्रसामान्य वितरण (multivariate normal distribution) के रूप में जाना जाता है।

द्वि-चर (bi-variate) या बहुभिन्नरूपी (multivariate) प्रसामान्य वितरण के मामले में, हम 2 या अधिक चरों के बीच संबंध के परिमाण (magnitude) और दिशा (direction) की खोज और माप करने में रुचि रखते हैं। इसके लिए हम सहसंबंध नामक उपकरण (tool) का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास दो निरंतर चर (continuous variables) \( X \) और \( Y \) हैं और यदि \( X \) में परिवर्तन \( Y \) को प्रभावित करता है, तो चरों को सहसंबद्ध (correlated) कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, चरों के बीच व्यवस्थित संबंध (systematic relationship) को सहसंबंध कहा जाता है। जब केवल 2 चर शामिल होते हैं तो सहसंबंध को सरल सहसंबंध (simple correlation) के रूप में जाना जाता है और जब 2 से अधिक चर शामिल होते हैं तो सहसंबंध को एकाधिक सहसंबंध (multiple correlation) के रूप में जाना जाता है। जब चर एक ही दिशा में चलते हैं, तो इन चरों को सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध (correlated positively) कहा जाता है और यदि वे विपरीत दिशा (opposite direction) में चलते हैं तो उन्हें नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध (negatively correlated) कहा जाता है।

प्रकीर्ण आरेख (Scatter Diagram)

यह जांचने के लिए कि क्या चर \( X \) और \( Y \) के बीच कोई संबंध है, हम प्रकीर्ण आरेख (scatter diagram) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए \( (x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n) \) अवलोकनों के \( n \) जोड़े हैं। यदि चर \( X \) और \( Y \) को ग्राफ शीट के \( x-y \) तल में क्रमशः \( X \)-अक्ष और \( Y \)-अक्ष के साथ आलेखित (plotted) किया जाता है, तो बिंदुओं (dots) का परिणामी आरेख प्रकीर्ण आरेख के रूप में जाना जाता है। प्रकीर्ण आरेख से हम बता सकते हैं कि क्या \( x \) और \( y \) के बीच कोई सहसंबंध है और क्या यह सकारात्मक या नकारात्मक है या सहसंबंध रैखिक (linear) या वक्ररेखीय (curvilinear) है।

पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (Pearson’s Correlation Coefficient)

दो निरंतर चरों के बीच संबंध की डिग्री (degree of relationship) के माप को सहसंबंध गुणांक (correlation coefficient) कहा जाता है। इसे (नमूने के मामले में) \( r \) द्वारा और (समष्टि के मामले में) \( \rho \) द्वारा दर्शाया जाता है। सहसंबंध गुणांक \( r \) को पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के रूप में जाना जाता है क्योंकि इसकी खोज कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने की थी। इसे उत्पाद क्षण सहसंबंध (product moment correlation) भी कहा जाता है।

सहसंबंध गुणांक \( r \) को चर \( X \) और \( Y \) के सहप्रसरण (covariance) और \( X \) और \( Y \) के मानक विचलन (standard deviation) के उत्पाद के अनुपात (ratio) के रूप में दिया जाता है।

प्रतीकात्मक रूप से (Symbolically):

$$ r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_x \sigma_y} $$

जिसे इस प्रकार सरल (simplified) किया जा सकता है:

$$ r = \frac{\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x - \bar{x})^2 \sum (y - \bar{y})^2}} = \frac{\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}}{\sqrt{\left(\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}\right) \left(\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}\right)}} $$

यह सहसंबंध गुणांक \( r \) पियर्सन के सहसंबंध गुणांक के रूप में जाना जाता है। अंश (numerator) को \( X \) और \( Y \) के उत्पाद का योग कहा जाता है और इसे संक्षेप में SP(XY) कहा जाता है। हर (denominator) में पहले पद को \( X \) के वर्गों का योग (sum of squares of X) अर्थात SS(X) कहा जाता है और दूसरे पद को \( Y \) के वर्गों का योग अर्थात SS(Y) कहा जाता है।

$$ \therefore r = \frac{SP(XY)}{\sqrt{SS(X) \cdot SS(Y)}} $$

उपरोक्त सूत्र में हर (denominator) हमेशा धनात्मक (positive) होता है। अंश सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है जिससे \( r \) सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।

सहसंबंध विश्लेषण में मान्यताएं (Assumptions in correlation analysis):

सहसंबंध गुणांक \( r \) का उपयोग कुछ मान्यताओं के तहत किया जाता है, वे हैं:

  1. अध्ययन के अंतर्गत चर निरंतर यादृच्छिक चर (continuous random variables) हैं और वे प्रसामान्य रूप से वितरित (normally distributed) हैं।
  2. चरों के बीच संबंध रैखिक (linear) है।
  3. अवलोकनों का प्रत्येक जोड़ा अन्य जोड़े से असंबद्ध (स्वतंत्र - independent) है।

गुण (Properties)

  1. सहसंबंध गुणांक का मान -1 और +1 के बीच होता है (\( -1 \leq r \leq 1 \))।
  2. सहसंबंध गुणांक मूल (origin) या पैमाने (scale) या दोनों के परिवर्तन से प्रभावित नहीं होता है।
  3. यदि \( r > 0 \) यह सकारात्मक सहसंबंध (positive correlation) को दर्शाता है।
    यदि \( r < 0 \) यह दो चरों \( x \) और \( y \) के बीच नकारात्मक सहसंबंध (negative correlation) को दर्शाता है।
    यदि \( r = 0 \) तो दोनों चर \( x \) और \( y \) रैखिक रूप से सहसंबद्ध नहीं हैं (अर्थात दो चर स्वतंत्र हैं)।
    यदि \( r = +1 \) तो सहसंबंध पूर्ण सकारात्मक (perfect positive) है।
    यदि \( r = -1 \) तो सहसंबंध पूर्ण नकारात्मक (perfect negative) है।

\( r \) की सार्थकता का परीक्षण (Testing the significance of \( r \))

\( r \) की सार्थकता (significance) का परीक्षण छात्र के टी-परीक्षण (Student’s t test) द्वारा किया जा सकता है। परीक्षण सांख्यिकी (test statistics) इस प्रकार दी गई है:

$$ t = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - r^2}} $$

यह \( t \), \( (n-2) \) स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) के साथ छात्र के t-वितरण के रूप में वितरित किया जाता है।

चरों के बीच संबंध की व्याख्या सहसंबंध गुणांक के वर्ग (\( r^2 \)) द्वारा की जाती है जिसे निर्धारण का गुणांक (coefficient of determination) कहा जाता है। मान \( 1-r^2 \) को अलगाव का गुणांक (coefficient of alienation) कहा जाता है। यदि \( r^2 = 0.72 \) है, तो इसका अर्थ है कि नमूनों के आधार पर एक चर में 72% भिन्नता (variation) दूसरे चर की भिन्नता के कारण होती है। 2 सहसंबंध गुणांकों की तुलना करने के लिए निर्धारण गुणांक का उपयोग किया जाता है।

समस्या (Problem)

नीचे दिए गए आंकड़ों के अनुसार पौधे की ऊंचाई (सेमी) और उपज (किलोग्राम) के बीच पियर्सन के सहसंबंध गुणांक (Pearsons coefficient of correlation) की गणना करें:

पौधे की ऊंचाई (Plant Height - cm) (X) 39656290827525983678
उपज (Yield in Kgs) (Y) 47535886626860915184

समाधान (Solution):
\( H_0 \): सहसंबंध गुणांक \( r \) महत्वपूर्ण नहीं है (not significant)।
\( H_1 \): सहसंबंध गुणांक \( r \) महत्वपूर्ण है।
सार्थकता का स्तर = 5%

डेटा से (From the data):
\( n = 10 \)
\( \sum x = 650 \)
\( \sum y = 660 \)
\( \sum x^2 = 47648 \)
\( \sum y^2 = 45784 \)
\( \sum xy = 45604 \)

सहसंबंध गुणांक (Correlation coefficient) \( r \):

$$ r = \frac{\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}}{\sqrt{\left(\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}\right) \left(\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}\right)}} $$
$$ r = \frac{45604 - \frac{650 \times 660}{10}}{\sqrt{\left(47648 - \frac{650^2}{10}\right) \left(45784 - \frac{660^2}{10}\right)}} $$
$$ r = \frac{45604 - 42900}{\sqrt{(47648 - 42250)(45784 - 43560)}} $$
$$ r = \frac{2704}{\sqrt{5398 \times 2224}} = \frac{2704}{\sqrt{12005152}} = \frac{2704}{3464.845} = 0.7804 $$

सहसंबंध गुणांक सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध (positively correlated) है।

परीक्षण सांख्यिकी (Test Statistic):

$$ t = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - r^2}} $$
$$ t = \frac{0.7804 \times \sqrt{8}}{\sqrt{1 - 0.7804^2}} = \frac{0.7804 \times 2.8284}{\sqrt{1 - 0.609}} = \frac{2.207}{0.625} = 3.53 $$

\( t_{tab} = t(10-2, 5\% \text{ l.o.s}) = 2.306 \)

निष्कर्ष (Inference):
चूँकि \( t > t_{tab} \) (3.53 > 2.306), हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं।
\(\therefore\) सहसंबंध गुणांक \( r \) सार्थक (significant) है। (यानी) पौधे की ऊंचाई और उपज के बीच संबंध है।

प्रश्न (Questions)

  1. सहसंबंध गुणांक (correlation coefficient) की सीमाएँ हैं:

    (a) \( -1 \leq r \leq 1 \)
    (b) \( 0 \leq r \leq 1 \)
    (c) \( -1 \leq r \leq 0 \)
    (d) \( 1 \leq r \leq 2 \)

    उत्तर (Ans): (a) \( -1 \leq r \leq 1 \)

  2. सहसंबंध गुणांक किसके परिवर्तन से अप्रभावित (unaffected) रहता है:

    (a) मूल (Origin)
    (b) पैमाना (Scale)
    (c) पैमाना और मूल दोनों (Scale & origin)
    (d) इनमें से कोई नहीं

    उत्तर (Ans): (c) पैमाना और मूल (scale & origin)

  3. जब \( r = +1 \) होता है, तो पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध (Perfect positive correlation) होता है। सत्य (True)
  4. कार्ल पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना केवल तभी की जाती है जब दोनों चर निरंतर (continuous) हों। सत्य (True)
  5. दो चरों के बीच सहसंबंध सममित (symmetric) होता है। सत्य (True)
  6. दो चरों के बीच सहसंबंध को बहु-सहसंबंध (multiple correlation) के रूप में जाना जाता है। असत्य (False) (इसे सरल सहसंबंध कहा जाता है)
  7. प्रकीर्ण आरेख (scatter diagram) क्या है? इसके उपयोग बताइए।
  8. सहसंबंध (correlation) को परिभाषित करें।
  9. कार्ल पियर्सन सहसंबंध गुणांक (Karl pearsons correlation coefficient) की गणना कैसे करें, इसकी विधि समझाएं?
  10. सहसंबंध गुणांक के गुणों (properties) का उल्लेख करें?
अस्वीकरण (Disclaimer):
यह स्टडी मटेरियल ICAR के मूल कंटेंट का हिंदी अनुवाद है। हम इसकी पूर्ण सटीकता के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। यह फाइल अभी केवल सुधार और परीक्षण (Improvement Purpose) के लिए यहाँ उपलब्ध कराई गई है। बहुत जल्द हम इसे डाउनलोड करने के लिए PDF फॉर्मेट में अपडेट करेंगे।

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