यादृच्छिक ब्लॉक अभिकल्पना में \(2^3\) कारकीय प्रयोग (\(2^3\) Factorial Experiments in RBD)

व्याख्यान 20 (Lecture 20)

RBD में \(2^3\) कारकीय प्रयोग - लेआउट, प्रसरण विश्लेषण और येट्स की विधि (Layout, Analysis of Variance and Yates's Technique)

1. \(2^3\) कारकीय प्रयोग की अवधारणा (Concept of \(2^3\) Factorial Experiment)

\(2^3\) कारकीय प्रयोग का अर्थ है ऐसा प्रयोग जिसमें तीन कारक (Three Factors) शामिल हैं और प्रत्येक कारक के दो स्तर (Two Levels) हैं।

मान लीजिए कि तीन कारक \(A, B\) और \(C\) हैं। प्रत्येक कारक के दो स्तर (निम्न स्तर '0' और उच्च स्तर '1') निम्नलिखित हैं:

अतः कुल उपचार संयोजनों (Treatment Combinations) की संख्या \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) होगी। इन्हें येट्स के मानक संकेतन (Standard Order) में इस प्रकार लिखा जाता है:

  1. \(a_0b_0c_0\) या \((1)\): तीनों कारक अपने निम्न स्तर पर (नियंत्रण / Control)।
  2. \(a_1b_0c_0\) या \(a\): केवल कारक A उच्च स्तर पर।
  3. \(a_0b_1c_0\) या \(b\): केवल कारक B उच्च स्तर पर।
  4. \(a_1b_1c_0\) या \(ab\): कारक A और B उच्च स्तर पर, C निम्न स्तर पर।
  5. \(a_0b_0c_1\) या \(c\): केवल कारक C उच्च स्तर पर।
  6. \(a_1b_0c_1\) या \(ac\): कारक A और C उच्च स्तर पर, B निम्न स्तर पर।
  7. \(a_0b_1c_1\) या \(bc\): कारक B और C उच्च स्तर पर, A निम्न स्तर पर।
  8. \(a_1b_1c_1\) या \(abc\): तीनों कारक अपने उच्च स्तर पर।

2. RBD में लेआउट और यादृच्छिकीकरण (Layout in RBD)

RBD में इन 8 उपचार संयोजनों का विन्यास निम्नलिखित रूप से किया जाता है:

3. सांख्यिकीय मॉडल (Statistical Model)

RBD में \(2^3\) कारकीय प्रयोग का रैखिक मॉडल निम्नलिखित है:

$$ Y_{ijkm} = \mu + r_m + A_i + B_j + C_k + (AB)_{ij} + (AC)_{ik} + (BC)_{jk} + (ABC)_{ijk} + e_{ijkm} $$

जहाँ \(r_m\) पुनरावृत्ति प्रभाव, \(A_i, B_j, C_k\) मुख्य प्रभाव, \((AB)_{ij}, (AC)_{ik}, (BC)_{jk}\) प्रथम कोटि अंतर्क्रियाएं, \((ABC)_{ijk}\) द्वितीय कोटि अंतर्क्रिया तथा \(e_{ijkm}\) प्रयोगात्मक त्रुटि है।

4. प्रसरण विश्लेषण तालिका (ANOVA Table for \(2^3\) Factorial in RBD)

\(r\) पुनरावृत्तियों वाले \(2^3\) कारकीय प्रयोग की ANOVA तालिका निम्नलिखित है:

प्रसरण के स्रोत (Source of Variation) स्वतंत्रता की कोटि (d.f.) वर्गों का योग (SS) माध्य वर्ग योग (MSS) परिकलित F-अनुपात (\(F_{\text{cal}}\))
पुनरावृत्ति (Replications) \(r - 1\) \(RSS\) \(RMS = \frac{RSS}{r-1}\) \(F_R = \frac{RMS}{EMS}\)
उपचार (Treatments) \(8 - 1 = 7\) \(TrSS\) \(TrMS = \frac{TrSS}{7}\) \(F_{Tr} = \frac{TrMS}{EMS}\)
— मुख्य प्रभाव A (Factor A) \(1\) \(ASS\) \(AMS = \frac{ASS}{1}\) \(F_A = \frac{AMS}{EMS}\)
— मुख्य प्रभाव B (Factor B) \(1\) \(BSS\) \(BMS = \frac{BSS}{1}\) \(F_B = \frac{BMS}{EMS}\)
— मुख्य प्रभाव C (Factor C) \(1\) \(CSS\) \(CMS = \frac{CSS}{1}\) \(F_C = \frac{CMS}{EMS}\)
— अंतर्क्रिया AB (\(A \times B\)) \(1\) \(ABSS\) \(ABMS = \frac{ABSS}{1}\) \(F_{AB} = \frac{ABMS}{EMS}\)
— अंतर्क्रिया AC (\(A \times C\)) \(1\) \(ACSS\) \(ACMS = \frac{ACSS}{1}\) \(F_{AC} = \frac{ACMS}{EMS}\)
— अंतर्क्रिया BC (\(B \times C\)) \(1\) \(BCSS\) \(BCMS = \frac{BCSS}{1}\) \(F_{BC} = \frac{BCMS}{EMS}\)
— अंतर्क्रिया ABC (\(A \times B \times C\)) \(1\) \(ABCSS\) \(ABCMS = \frac{ABCSS}{1}\) \(F_{ABC} = \frac{ABCMS}{EMS}\)
प्रयोगात्मक त्रुटि (Error) \((r - 1)(8 - 1) = 7(r - 1)\) \(ESS\) \(EMS = \frac{ESS}{7(r-1)}\) —
कुल (Total) \(8r - 1\) \(TSS\) — —

5. वर्गों के योग (SS) की चरणबद्ध गणना विधि

चरण 1: सुधार कारक एवं कुल वर्गों का योग

$$ CF = \frac{(GT)^2}{8r}, \quad TSS = \sum Y^2 - CF $$

चरण 2: पुनरावृत्ति वर्गों का योग (RSS)

$$ RSS = \frac{\sum R_m^2}{8} - CF $$

चरण 3: द्विमार्गी तालिकाओं (\(A \times B, A \times C, B \times C\)) द्वारा गणना

तीन दो-तरफा तालिकाएं बनाकर मुख्य प्रभावों और द्वि-कारक अंतर्क्रियाओं के वर्गों का योग प्राप्त किया जाता है:

6. येट्स की विधि (Yates's Technique / Algorithm for \(2^3\) Factorial)

\(2^3\) कारकीय प्रयोग के लिए येट्स की विधि अत्यंत तीव्र, शुद्ध और सुविधाजनक है। इसमें जोड़ (+) और घटाव (-) के 3 क्रमिक चक्र (Operations) किए जाते हैं:

मानक क्रम उपचार कुल (\(y\)) संक्रिया (1) संक्रिया (2) संक्रिया (3) [प्रभाव कुल] प्रभाव वर्गों का योग (SS)
\((1)\) \(y_1\) \(y_1 + y_2\) \(z_1 + z_2\) \(w_1 + w_2 = GT\) महायोग (GT) \(CF = \frac{GT^2}{8r}\)
\(a\) \(y_2\) \(y_3 + y_4\) \(z_3 + z_4\) \(w_3 + w_4 = [A]\) मुख्य प्रभाव A \(ASS = \frac{[A]^2}{8r}\)
\(b\) \(y_3\) \(y_5 + y_6\) \(z_5 + z_6\) \(w_5 + w_6 = [B]\) मुख्य प्रभाव B \(BSS = \frac{[B]^2}{8r}\)
\(ab\) \(y_4\) \(y_7 + y_8\) \(z_7 + z_8\) \(w_7 + w_8 = [AB]\) अंतर्क्रिया AB \(ABSS = \frac{[AB]^2}{8r}\)
\(c\) \(y_5\) \(y_2 - y_1\) \(z_2 - z_1\) \(w_2 - w_1 = [C]\) मुख्य प्रभाव C \(CSS = \frac{[C]^2}{8r}\)
\(ac\) \(y_6\) \(y_4 - y_3\) \(z_4 - z_3\) \(w_4 - w_3 = [AC]\) अंतर्क्रिया AC \(ACSS = \frac{[AC]^2}{8r}\)
\(bc\) \(y_7\) \(y_6 - y_5\) \(z_6 - z_5\) \(w_6 - w_5 = [BC]\) अंतर्क्रिया BC \(BCSS = \frac{[BC]^2}{8r}\)
\(abc\) \(y_8\) \(y_8 - y_7\) \(z_8 - z_7\) \(w_8 - w_7 = [ABC]\) अंतर्क्रिया ABC \(ABCSS = \frac{[ABC]^2}{8r}\)

येट्स विधि के बीजगणितीय सूत्र (Algebraic Formulae):

7. मानक त्रुटि एवं क्रांतिक अंतर (Standard Error & CD)

स्व-मूल्यांकन हेतु अभ्यास प्रश्न (Self-Assessment Questions)

भाग A: बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

  1. \(2^3\) कारकीय प्रयोग में कुल उपचार संयोजनों की संख्या होती है:

    (a) 4
    (b) 6
    (c) 8
    (d) 16

    उत्तर: (c) 8 — तीन कारक, प्रत्येक 2 स्तरों पर (\(2^3 = 8\))।

  2. \(2^3\) कारकीय प्रयोग में 3 पुनरावृत्तियों (\(r = 3\)) के साथ प्रयोगात्मक त्रुटि की स्वतंत्रता की कोटि (Error d.f.) होगी:

    (a) 7
    (b) 14
    (c) 21
    (d) 23

    उत्तर: (b) 14 — सूत्र: \(7(r - 1) = 7(3 - 1) = 7 \times 2 = 14\)।

  3. \(2^3\) कारकीय प्रयोग में तीन-कारक अंतर्क्रिया (\(ABC\)) की स्वतंत्रता की कोटि होती है:

    (a) 1
    (b) 2
    (c) 3
    (d) 4

    उत्तर: (a) 1 — सूत्र: \((a-1)(b-1)(c-1) = (2-1)(2-1)(2-1) = 1\)।

भाग B: सत्य / असत्य कथन (True / False Statements)

  1. यदि 3 कारक A, B और C प्रत्येक 3 स्तरों पर हों, तो कुल संयोजनों की संख्या 27 होगी। — सत्य (True)
  2. तीन-कारक प्रयोग में उच्चतम कोटि की अंतर्क्रिया द्वि-कारक अंतर्क्रिया होती है। — असत्य (False) (उच्चतम कोटि अंतर्क्रिया तीन-कारक अंतर्क्रिया ABC होती है।)
  3. \(2^3\) कारकीय प्रयोग में उपचार वर्गों का योग (TrSS) 7 स्वतंत्र एकल-स्वतंत्रता-कोटि घटकों में विभाजित होता है। — सत्य (True)
  4. येट्स की विधि में \(2^3\) प्रयोग के लिए जोड़ और घटाव के 3 संक्रिया चक्र किए जाते हैं। — सत्य (True)

भाग C: वर्णनात्मक प्रश्न (Descriptive Questions)

  1. RBD में \(2^3\) कारकीय प्रयोग के लिए संपूर्ण ANOVA तालिका (प्रसरण विश्लेषण सारणी) बनाइए।

    उत्तर: ऊपर खंड 4 में दी गई तालिका के अनुसार d.f. क्रमशः पुनरावृत्ति \((r-1)\), A, B, C (प्रत्येक \(1\)), AB, AC, BC (प्रत्येक \(1\)), ABC \((1)\), प्रयोगात्मक त्रुटि \(7(r-1)\) और कुल \(8r-1\) होगी।

  2. \(2^3\) कारकीय प्रयोग में येट्स की तकनीक की कार्यप्रणाली को विस्तार से समझाइए।

    उत्तर: 8 उपचार संयोजनों को मानक क्रम में रखकर 3 बार जोड़ व अंतर की संक्रियाएं की जाती हैं। तीसरे चक्र से प्राप्त प्रभाव कुल का वर्ग करके \(8r\) से विभाजित करने पर संबंधित SS प्राप्त होता है।

🔄 संस्करण 2.0 अद्यतन (Version 2.0 Update)
अंतिम अद्यतन (Last Updated): 7 सितंबर 2026
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