आंकड़ों का आरेखीय निरूपण (Diagrammatic Representation of Data)

व्याख्यान 2 (Lecture 2)

आंकड़ों का आरेखीय निरूपण — उपयोग और सीमाएं — सरल, बहु (Multiple), घटक (Component) और प्रतिशत दंड आरेख (Percentage Bar Diagrams) — वृत्तीय आरेख / पाई चार्ट (Pie Chart)

आरेख (Diagrams)

आरेख विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों जैसे दंड (खंभे), वृत्त आदि के रूप में आंकड़ों का दृश्य प्रस्तुतीकरण होते हैं। आरेख निश्चित पैमाने (Scale) के आधार पर बनाए जाते हैं, लेकिन ये केवल बिंदुओं या रेखाओं तक सीमित नहीं रहते। ये आलेखों (Graphs) की तुलना में अधिक आकर्षक और जनसाधारण के समझने में अत्यधिक सुगम होते हैं।

आरेखों के गुण (Merits)

  1. आरेख देखने में अत्यंत आकर्षक और प्रभावशाली होते हैं, जो दर्शकों का ध्यान तुरंत खींचते हैं।
  2. इन्हें समझने के लिए किसी गहन गणितीय या तकनीकी ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती।
  3. इन्हें देखकर निष्कर्ष निकालने में समय और मानसिक श्रम बहुत कम लगता है।
  4. आरेख आंकड़ों को वास्तविक और तुलनात्मक परिप्रेक्ष्य में प्रस्तुत करते हैं।
  5. आरेखों द्वारा प्रस्तुत जानकारी का मानव मस्तिष्क पर स्थायी और दीर्घकालिक प्रभाव पड़ता है।
  6. आरेखों को समझने में भाषा की कोई बाधा नहीं होती।
  7. यह विभिन्न क्षेत्रों और अवधियों के आंकड़ों की तुलना का अत्यंत लोकप्रिय माध्यम है।

आरेखों की हानियां या सीमाएं (Demerits or Limitations)

  1. आरेख केवल सन्निकट (Approximations) मान प्रदर्शित करते हैं, पूर्ण यथार्थ संख्यात्मक मान नहीं।
  2. आंकड़ों के बहुत सूक्ष्म अंतरों (Minute differences) को आरेखों में स्पष्ट रूप से दर्शाना कठिन होता है।
  3. मानों में अत्यधिक अंतर होने पर आरेख का संतुलन और दृश्य स्वरूप बिगड़ जाता है।
  4. कुछ विशिष्ट आरेख (जैसे पाई चार्ट) केवल कुशल विशेषज्ञों द्वारा ही शुद्धता से बनाए जा सकते हैं।
  5. अलग-अलग पैमानों के प्रयोग से सामान्य व्यक्ति आंकड़ों के संबंध में भ्रमित हो सकते हैं।

आरेखों के प्रकार (Types of Diagrams)

सांख्यिकी में प्रमुख रूप से निम्नलिखित आरेखों का उपयोग किया जाता है:

  1. सरल दंड आरेख (Simple Bar Diagram)
  2. बहु दंड आरेख (Multiple Bar Diagram)
  3. घटक दंड आरेख या उप-विभाजित दंड आरेख (Component / Sub-divided Bar Diagram)
  4. प्रतिशत दंड आरेख (Percentage Bar Diagram)
  5. वृत्तीय आरेख या पाई चार्ट (Pie Chart)
  6. चित्र आरेख (Pictogram)
  7. सांख्यिकीय मानचित्र या कार्टोग्राम (Statistical Maps / Cartograms)

सामान्यतः सभी दंड आरेखों में श्रेणियों, वर्षों या वर्गों को X-अक्ष (क्षैतिज) पर और उनकी मात्रा, परिमाण या आवृत्तियों को Y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) पर दर्शाया जाता है।

सरल दंड आरेख (Simple Bar Diagram)

जब आंकड़ों का वर्गीकरण किसी एक गुण या समय के आधार पर किया गया हो और केवल एक ही लक्षण के मानों की तुलना करनी हो, तो सरल दंड आरेख का उपयोग करते हैं।

उपयोग के प्रमुख उदाहरण:

  1. किसी राज्य में विभिन्न फसलों के अंतर्गत क्षेत्रफल।
  2. विभिन्न वर्षों का कुल खाद्यान्न उत्पादन।
  3. एक ही फसल की विभिन्न किस्मों का उपज प्रदर्शन।
  4. फसल पर विभिन्न पोषक तत्वों या उपचारों का प्रभाव।

सरल दंड आरेख में समान चौड़ाई के ऊर्ध्वाधर दंड बनाए जाते हैं। इन दंडों की ऊंचाई संबंधित मद के मान या मात्रा के समानुपाती होती है। सभी दंड एक ही आधार रेखा (Baseline) पर खड़े होते हैं तथा दो क्रमागत दंडों के बीच समान दूरी रखी जाती है। दंडों को सुंदर दिखाने के लिए उन्हें रंगा या शेड किया जा सकता है।

उदाहरण (Example):

वर्ष 1974-75 में तमिलनाडु में प्रमुख फसलों का क्षेत्रफल इस प्रकार दर्ज किया गया था:

फसलें (Crops) क्षेत्रफल — 1,000 हेक्टेयर में (Area in 1,000 hectares)
अनाज (Cereals) 3940
तिलहन (Oilseeds) 1165
दलहन (Pulses) 464
कपास (Cotton) 249
अन्य (Others) 822

इस तालिका के आधार पर प्रत्येक फसल के लिए अलग-अलग दंड बनाकर सरल दंड आरेख तैयार किया जाता है।

बहु दंड आरेख (Multiple Bar Diagram)

जब आंकड़ों में प्रत्येक श्रेणी या वर्ष के अंतर्गत दो या दो से अधिक परस्पर संबंधित लक्षणों की एक साथ तुलना करनी हो, तो बहु दंड आरेख का उपयोग किया जाता है। यदि प्रत्येक समूह में केवल दो ही लक्षणों की तुलना हो, तो इसे द्वि-दंड आरेख (Double Bar Diagram) भी कहते हैं।

यह सरल दंड आरेख का ही विस्तृत रूप है। प्रत्येक वर्ग के विभिन्न लक्षणों को दर्शाने वाले दंड परस्पर सटाकर एक साथ बनाए जाते हैं। विभिन्न लक्षणों के दंडों में स्पष्ट अंतर रखने के लिए अलग-अलग रंगों या शेड्स का प्रयोग किया जाता है। इन रंगों और प्रतीकों को समझाने के लिए आरेख के साथ एक संकेत-सूची (Legend) अवश्य दी जाती है।

उदाहरण (Example):

वर्ष 2000 से 2004 की अवधि के दौरान कृषि उत्पादन के निम्नलिखित आंकड़ों के लिए बहु दंड आरेख तैयार कीजिए:

वर्ष (Year) खाद्यान्न — टन में (Food grains - tonnes) सब्जियां — टन में (Vegetables - tonnes) अन्य — टन में (Others - tonnes)
2000 100 30 10
2001 120 40 15
2002 130 45 25
2003 150 50 25
2004 - - -

घटक दंड आरेख (Component Bar Diagram)

इसे उप-विभाजित दंड आरेख (Sub-divided Bar Diagram) भी कहते हैं। जब विभिन्न घटकों के दंडों को अलग-अलग साथ रखने के बजाय कुल मान का एक ही दंड बनाया जाए और उसे विभिन्न भागों या घटकों के अनुपातों में विभाजित कर दिया जाए, तो उसे घटक दंड आरेख कहते हैं।

उदाहरण (Example):

निम्नलिखित व्यापारिक आंकड़ों के लिए एक घटक दंड आरेख बनाइए:

वर्ष (Year) कुल बिक्री — रु. (Sales - Rs.) सकल लाभ — रु. (Gross Profit - Rs.) शुद्ध लाभ — रु. (Net Profit - Rs.)
1974 100 30 10
1975 120 40 15
1976 130 45 25
1977 150 50 25

प्रतिशत दंड आरेख (Percentage Bar Diagram)

जब विभिन्न वर्षों या श्रेणियों के कुल मानों में बहुत अधिक अंतर हो और उनके घटकों की सार्थक तुलना करना कठिन हो, तो सभी घटकों को प्रतिशत में बदल लिया जाता है। इस स्थिति में प्रत्येक दंड की कुल ऊंचाई 100% के बराबर रखी जाती है और उसे घटकों के प्रतिशत के अनुसार उप-विभाजित किया जाता है।

$$ ext{प्रतिशत} = rac{ ext{घटक का वास्तविक मान}}{ ext{कुल मान}} imes 100 $$

उदाहरण (Example):

उपरोक्त घटक तालिका के मानों को सूत्र \( ext{प्रतिशत} = rac{ ext{वास्तविक मान}}{ ext{कुल योग}} imes 100 \) का उपयोग करके प्रतिशत में परिवर्तित करने पर:

वर्ष (Year) बिक्री — % (Sales - %) सकल लाभ — % (Gross Profit - %) शुद्ध लाभ — % (Net Profit - %)
1974 71.43 21.43 7.14
1975 68.57 22.86 8.57
1976 65.00 22.50 12.50
1977 66.67 22.22 11.11

वृत्तीय आरेख या पाई चार्ट (Pie Chart / Pie Diagram)

पाई चार्ट एक वृत्तीय आरेख होता है, जिसका उपयोग दंड आरेखों के स्थान पर समग्र और उसके घटकों को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इसमें एक संपूर्ण वृत्त को विभिन्न त्रिज्यखंडों (Sectors) में विभाजित किया जाता है। पाई चार्ट बनाने के मुख्य चरण निम्नलिखित हैं:

चरण 1 (Step 1):

दिए गए प्रत्येक घटक के वास्तविक मान या प्रतिशत को वृत्त के कुल \( 360^{\circ} \) के कोण के अनुपात में बदलिए:

$$ ext{कोण (Angle)} = rac{ ext{घटक का वास्तविक मान}}{ ext{कुल वास्तविक मान}} imes 360^{\circ} $$

अथवा प्रतिशत दिए होने पर:

$$ ext{कोण (Angle)} = rac{ ext{प्रतिशत मान}}{100} imes 360^{\circ} $$

चरण 2 (Step 2):

वृत्त का क्षेत्रफल कुल मान के समानुपाती मानकर त्रिज्या \( r \) ज्ञात की जाती है, जहाँ सूत्र \( ext{क्षेत्रफल} = \pi r^2 \) है और \( \pi = rac{22}{7} \) या \( 3.14 \) है।

उदाहरण (Example):

भारत के चार दक्षिणी राज्यों में कृषि योग्य क्षेत्रफल (Cultivable Area) निम्नलिखित है। इस आंकड़े के लिए एक पाई चार्ट तैयार कीजिए:

राज्य (State) कृषि योग्य क्षेत्रफल — हेक्टेयर में (Cultivable Area in hectares)
आंध्र प्रदेश (Andhra Pradesh) 663
कर्नाटक (Karnataka) 448
केरल (Kerala) 290
तमिलनाडु (Tamil Nadu) 556
कुल (Total) 1957

कोण के सूत्र का प्रयोग करने पर:

$$ ext{कोण} = rac{ ext{वास्तविक मान}}{ ext{कुल मान}} imes 360^{\circ} $$

प्रत्येक राज्य के लिए कोण के मान निम्नलिखित प्राप्त होते हैं:

राज्य (State) त्रिज्यखंड का कोण (Angle in Degrees)
आंध्र प्रदेश (Andhra Pradesh) \( 121.96^{\circ} \)
कर्नाटक (Karnataka) \( 82.41^{\circ} \)
केरल (Kerala) \( 53.35^{\circ} \)
तमिलनाडु (Tamil Nadu) \( 102.28^{\circ} \)

त्रिज्या की गणना:

यहाँ कुल क्षेत्रफल \( \pi r^2 = 1957 \)

$$ r^2 = rac{1957}{\pi} = rac{1957}{3.1416} = 622.93 $$
$$ r = \sqrt{622.93} = 24.96 pprox 25 ext{ इकाई} $$

अभ्यास प्रश्न (Questions)

  1. घटक दंड आरेख (Component Bar Diagram) में प्रत्येक दंड की लंबाई:

    a) सभी के लिए समान होगी (Will be same for all)
    b) कुल योग पर निर्भर करती है (Depends on the total)
    c) निश्चित नहीं होती (Will not be same)
    d) इनमें से कोई नहीं (None of these)

    उत्तर (Ans): b) कुल योग पर निर्भर करती है (Depends on the total)

  2. किस आरेख में सभी श्रेणियों के लिए दंड की कुल लंबाई समान (100) होती है:

    a) बहु दंड आरेख (Multiple bar diagram)
    b) घटक दंड आरेख (Component bar diagram)
    c) प्रतिशत दंड आरेख (Percentage bar diagram)
    d) इनमें से कोई नहीं (None of these)

    उत्तर (Ans): c) प्रतिशत दंड आरेख (Percentage bar diagram)

  3. उप-विभाजित दंड आरेख (Sub-divided bar diagram) को घटक दंड आरेख (Component bar diagram) भी कहते हैं।

    उत्तर (Ans): सत्य (True)

  4. बहु दंड आरेख सरल दंड आरेख का ही एक विस्तृत रूप है।

    उत्तर (Ans): सत्य (True)

  5. दंड आरेख में सभी दंडों की चौड़ाई एक समान होनी चाहिए।

    उत्तर (Ans): सत्य (True)

  6. प्रतिशत दंड आरेख में दंडों की कुल लंबाई अलग-अलग होती है।

    उत्तर (Ans): असत्य (False)

  7. सांख्यिकीय आंकड़ों को प्रस्तुत करने में आरेख किस प्रकार उपयोगी हैं? समझाइए।
  8. पाई चार्ट (Pie chart) बनाने की विधि का वर्णन कीजिए।
  9. सरल दंड आरेख और बहु दंड आरेख के निर्माण की विधि उदाहरण सहित स्पष्ट कीजिए।
  10. घटक दंड आरेख और प्रतिशत दंड आरेख में मुख्य अंतर स्पष्ट कीजिए।
🔄 संस्करण 2.0 अद्यतन (Version 2.0 Update)
अंतिम अद्यतन (Last Updated): 7 सितंबर 2026
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