औसत के उपाय (Measures of averages)

व्याख्यान 4 (Lecture 4)

औसत के उपाय (Measures of averages) - माध्य (Mean) - माध्यिका (median) - बहुलक (mode) - ज्यामितीय माध्य (geometric mean) - हरात्मक माध्य (harmonic mean) - कच्चे और समूहीकृत डेटा (raw and grouped data) के लिए उपरोक्त सांख्यिकी की गणना - गुण और अवगुण (merits and demerits) - स्थान के उपाय (measures of location) - प्रतिशतक (percentiles) - चतुर्थक (quartiles) - कच्चे और समूहीकृत डेटा के लिए उपरोक्त सांख्यिकी की गणना

किसी आबादी (population) के अध्ययन में जिसके संबंध में हम रुचि रखते हैं, हमें बड़ी संख्या में अवलोकन (observations) मिल सकते हैं। जब हम सभी अवलोकनों को देखते हैं तो विशेषता के बारे में कोई भी विचार (idea) प्राप्त करना संभव नहीं है। इसलिए एक समूह के लिए एक संख्या (one number) प्राप्त करना बेहतर है। उस विशेषता की स्पष्ट तस्वीर देने के लिए वह संख्या सभी अवलोकनों के लिए एक अच्छी प्रतिनिधि (representative) होनी चाहिए। ऐसी प्रतिनिधि संख्या इन सभी अवलोकनों के लिए एक केंद्रीय मान (central value) हो सकती है। इस केंद्रीय मान को केंद्रीय प्रवृत्ति का माप (measure of central tendency) या औसत (average) या स्थानों का माप (measure of locations) कहा जाता है।

पाँच औसत होते हैं। उनमें से माध्य (mean), माध्यिका (median) और बहुलक (mode) को साधारण औसत (simple averages) कहा जाता है और अन्य दो औसत ज्यामितीय माध्य (geometric mean) और हरात्मक माध्य (harmonic mean) को विशेष औसत (special averages) कहा जाता है।

अंकगणितीय माध्य या माध्य (Arithmetic mean or mean)

अंकगणितीय माध्य या केवल किसी चर (variable) के माध्य को अवलोकनों के योग (sum of the observations) को अवलोकनों की संख्या (number of observations) से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे $ \bar{x} $ (x-bar) प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। यदि चर x, n मान $ x_1, x_2 \dots x_n $ मानता है तो माध्य इस प्रकार दिया जाता है:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum x}{n} $$

यह सूत्र अवर्गीकृत या कच्चे डेटा (ungrouped or raw data) के लिए है।

उदाहरण 1 (Example 1)

मिट्टी के pH स्तर 6.8, 6.6, 5.2, 5.6, 5.8 के लिए माध्य की गणना करें।

समाधान (Solution)

$$ \bar{x} = \frac{6.8 + 6.6 + 5.2 + 5.6 + 5.8}{5} = \frac{30}{5} = 6 $$

समूहीकृत डेटा (Grouped Data)

समूहीकृत डेटा के लिए माध्य निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त किया जाता है:

$$ \bar{x} = \frac{\sum fx}{n} $$

जहाँ $ x $ = व्यक्तिगत वर्ग का मध्य-बिंदु (mid-point of individual class)
$ f $ = व्यक्तिगत वर्ग की आवृत्ति (frequency of individual class)
$ n $ = एक नमूने में आवृत्तियों का योग या कुल आवृत्तियाँ ($ \sum f $)

शॉर्ट-कट विधि (Short-cut method)

$$ \bar{x} = A + \left( \frac{\sum fd}{n} \right) \times c $$

जहाँ $ d = \frac{x - A}{c} $
$ A $ = x में कोई भी मान (कल्पित माध्य - assumed mean)
$ n $ = कुल आवृत्ति (total frequency)
$ c $ = वर्ग अंतराल की चौड़ाई (width of the class interval)

उदाहरण 2 (Example 2)

निम्नलिखित आवृत्ति वितरण (frequency distribution) को देखते हुए, अंकगणितीय माध्य की गणना करें:

अंक (Marks)	64	63	62	61	60	59
छात्रों की संख्या (No. of Students)	8	18	12	9	7	6

समाधान (Solution)

X	F	Fx	D = X - A	Fd
64	8	512	2	16
63	18	1134	1	18
62 (A)	12	744	0	0
61	9	549	-1	-9
60	7	420	-2	-14
59	6	354	-3	-18
कुल (Total)	60	3713		-7

प्रत्यक्ष विधि (Direct method)

$$ \bar{x} = \frac{\sum fx}{n} = \frac{3713}{60} = 61.88 $$

शॉर्ट-कट विधि (Short-cut method)

यहाँ $ A = 62 $

$$ \bar{x} = A + \frac{\sum fd}{n} = 62 + \left( \frac{-7}{60} \right) = 62 - 0.116 = 61.88 $$

उदाहरण 3 (Example 3)

नीचे दी गई तालिका में तिल (seasamum) के बीज की उपज के आवृत्ति वितरण के लिए, प्रति भूखंड (per plot) औसत उपज की गणना करें।

प्रति भूखंड उपज - ग्राम में (Yield per plot in g)	भूखंडों की संख्या (No of plots)
64.5 - 84.5	3
84.5 - 104.5	5
104.5 - 124.5	7
124.5 - 144.5	20

समाधान (Solution)

उपज - ग्राम में (Yield in g)	भूखंडों की संख्या (f)	मध्य X (Mid X)	d = (X-A)/c	Fd
64.5 - 84.5	3	74.5	-1	-3
84.5 - 104.5	5	94.5 (A)	0	0
104.5 - 124.5	7	114.5	1	7
124.5 - 144.5	20	134.5	2	40
कुल (Total)	35			44

$ A = 94.5 $, $ c = 20 $

प्रति भूखंड औसत उपज (mean yield per plot) है:

शॉर्ट-कट विधि (Shortcut method)

$$ \bar{x} = A + \left( \frac{\sum fd}{n} \right) \times c = 94.5 + \left( \frac{44}{35} \right) \times 20 = 94.5 + 25.14 = 119.64 \text{ gms} $$

अंकगणितीय माध्य के गुण और अवगुण (Merits and demerits of Arithmetic mean)

गुण (Merits)

यह दृढ़ता से परिभाषित (rigidly defined) है।
इसे समझना और गणना करना आसान है।
यदि वस्तुओं की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो यह अधिक सटीक और अधिक विश्वसनीय (reliable) है।
यह एक परिकलित मान (calculated value) है और श्रृंखला में इसकी स्थिति पर आधारित नहीं है।
डेटा के कुछ विवरण (details) न होने पर भी गणना करना संभव है।
सभी औसतों में से, यह नमूने के उतार-चढ़ाव (fluctuations of sampling) से सबसे कम प्रभावित होता है।
यह तुलना के लिए एक अच्छा आधार प्रदान करता है।

अवगुण (Demerits)

इसे निरीक्षण (inspection) द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है और न ही आवृत्ति ग्राफ़ (frequency graph) के माध्यम से पता लगाया जा सकता है।
यह गुणात्मक घटनाओं (qualitative phenomena) के अध्ययन में उपयोग नहीं किया जा सकता है जो संख्यात्मक माप में सक्षम नहीं हैं यानी बुद्धिमत्ता (Intelligence), सौंदर्य, ईमानदारी आदि।
यह केवल अपनी सटीकता (accuracy) खोने के जोखिम पर किसी एकल आइटम (single item) को अनदेखा कर सकता है।
यह चरम मूल्यों (extreme values) से बहुत अधिक प्रभावित होता है।
ओपन-एंड कक्षाओं (open-end classes) के लिए इसकी गणना नहीं की जा सकती है।
यह भ्रामक निष्कर्ष (fallacious conclusions) दे सकता है, यदि उस डेटा का विवरण नहीं दिया गया है जिससे इसकी गणना की गई है।

माध्यिका (Median)

माध्यिका (median) मध्य का सबसे आइटम है जो समूह को दो समान भागों में विभाजित करता है, एक भाग में उस आइटम से अधिक सभी मान होते हैं, और दूसरे भाग में उस आइटम से कम सभी मान होते हैं।

अवर्गीकृत या कच्चा डेटा (Ungrouped or Raw data)

दिए गए मानों को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करें। यदि मानों की संख्या विषम (odd) है, तो माध्यिका मध्य मान है। यदि मानों की संख्या सम (even) है, तो माध्यिका मध्य दो मानों का औसत है।

सूत्र द्वारा:

जब n विषम (odd) हो, तो $ Median = \left( \frac{n + 1}{2} \right)^{th} \text{ item} $

जब n सम (even) हो, तो माध्यिका $ \left( \frac{n}{2} \right)^{th} $ आइटम और $ \left( \frac{n}{2} + 1 \right)^{th} $ आइटम का औसत है।

उदाहरण 4 (Example 4)

यदि ज्वार (sorghum) की बालियों का वजन 45, 60, 48, 100, 65 ग्राम है, तो माध्यिका की गणना करें।

समाधान (Solution)

यहाँ $ n = 5 $
पहले इसे आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करें: 45, 48, 60, 65, 100

$$ Median = \left( \frac{n + 1}{2} \right)^{th} \text{ item} = \left( \frac{5 + 1}{2} \right)^{th} \text{ item} = 3^{rd} \text{ item} = 60 $$

उदाहरण 5 (Example 5)

यदि ज्वार (sorghum) की बालियां 5, 48, 60, 65, 65, 100 ग्राम हैं, तो माध्यिका की गणना करें।

समाधान (Solution)

यहाँ $ n = 6 $
माध्यिका = 3रे और 4थे आइटम का औसत = $ \frac{60 + 65}{2} = 62.5 $

समूहीकृत डेटा (Grouped data)

एक समूहीकृत वितरण में, मानों को आवृत्तियों (frequencies) के साथ जोड़ा जाता है। समूहन एक असतत आवृत्ति वितरण (discrete frequency distribution) या निरंतर आवृत्ति वितरण (continuous frequency distribution) के रूप में हो सकता है। वितरण का प्रकार चाहे जो भी हो, वस्तुओं की कुल संख्या जानने के लिए संचयी आवृत्तियों (cumulative frequencies) की गणना की जानी चाहिए।

संचयी आवृत्ति (Cumulative frequency - cf)

प्रत्येक वर्ग की संचयी आवृत्ति उस वर्ग की आवृत्ति और पिछले वर्गों की आवृत्तियों का योग होती है, यानी आवृत्तियों को क्रमिक रूप से जोड़ना, ताकि अंतिम संचयी आवृत्ति वस्तुओं की कुल संख्या दे सके।

असतत श्रृंखला (Discrete Series)

चरण 1: संचयी आवृत्तियाँ ज्ञात करें।
चरण 2: $ \frac{N}{2} $ ज्ञात करें।
चरण 3: संचयी आवृत्तियों में वह मान देखें जो $ \frac{N}{2} $ से ठीक बड़ा हो।
चरण 4: तब x का संबंधित मान माध्यिका (median) है।

उदाहरण 6 (Example 6)

प्रति पौधे कीड़ों (insects) की संख्या से संबंधित निम्नलिखित डेटा। प्रति पौधे कीड़ों की औसत (median) संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रति पौधे कीड़ों की संख्या (x)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
पौधों की संख्या (f)	1	3	5	6	10	13	9	5	3	2	2	1

समाधान (Solution)

x	f	cf
1	1	1
2	3	4
3	5	9
4	6	15
5	10	25
6	13	38
7	9	47
8	5	52
9	3	55
10	2	57
11	2	59
12	1	60

यहाँ $ N = 60 $ (सम संख्या - even)

चूंकि अवलोकनों की संख्या सम है, माध्यिका = $ \left( \frac{n}{2} \right)^{th} $ और $ \left( \frac{n}{2} + 1 \right)^{th} $ आइटम का औसत।

= (30वाँ आइटम + 31वाँ आइटम) / 2

संचयी आवृत्ति में 30 और 31 दोनों 38 के अंतर्गत आते हैं, जिसके अनुरूप x = 6 है।

$$ Median = \frac{6 + 6}{2} = 6 $$

इसलिए औसत आकार 6 कीड़े प्रति पौधा है।

निरंतर श्रृंखला (Continuous Series)

निरंतर श्रृंखला में माध्यिका की गणना के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन किया जाता है:

चरण 1: संचयी आवृत्तियाँ ज्ञात करें।
चरण 2: $ \frac{N}{2} $ ज्ञात करें।
चरण 3: संचयी आवृत्ति में वह मान देखें जो $ \frac{N}{2} $ से ठीक बड़ा हो। तब संबंधित वर्ग अंतराल को माध्यिका वर्ग (Median class) कहा जाता है। फिर सूत्र लागू करें:

$$ Median = l + \frac{\frac{n}{2} - m}{f} \times c $$

जहाँ:
$ l $ = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा (Lower limit of the medianal class)
$ m $ = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति (cumulative frequency preceding the medianal class)
$ c $ = वर्ग की चौड़ाई (width of the class)
$ f $ = माध्यिका वर्ग में आवृत्ति (frequency in the median class)
$ n $ = कुल आवृत्ति (Total frequency)

उदाहरण 7 (Example 7)

नीचे दी गई तालिका में ज्वार (sorghum) की बालियों के वजन के आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका की गणना करें।

बालियों का वजन - ग्राम में (Weights of ear heads in g)	बालियों की संख्या (f)	संचयी आवृत्ति (cf - m)
60-80	22	22
80-100	38	60
100-120	45	105
120-140	35	140
140-160	24	164
कुल (Total)	164

समाधान (Solution)

$ \frac{n}{2} = \frac{164}{2} = 82 $

82 संचयी आवृत्ति 105 के अंतर्गत आता है। इसलिए माध्यिका वर्ग 100-120 है। इसकी निचली सीमा 100 है।

यहाँ $ l = 100 $, $ n = 164 $, $ f = 45 $, $ c = 20 $, $ m = 60 $

$$ Median = 100 + \frac{82 - 60}{45} \times 20 = 100 + \frac{22}{45} \times 20 = 100 + 9.78 = 109.78 \text{ g} $$

माध्यिका के गुण (Merits of Median)

माध्यिका चरम मूल्यों (extreme values) से प्रभावित नहीं होती है क्योंकि यह एक स्थितिगत औसत (positional average) है।
माध्यिका की गणना ओपन-एंड अंतराल (open-end intervals) वाले वितरण के मामले में की जा सकती है।
यदि डेटा अधूरा (incomplete) है तो भी माध्यिका का पता लगाया जा सकता है।

माध्यिका के अवगुण (Demerits of Median)

श्रृंखला में थोड़ा सा परिवर्तन माध्यिका मान में भारी बदलाव ला सकता है।
सम संख्या में वस्तुओं या निरंतर श्रृंखला के मामले में, माध्यिका श्रृंखला में किसी भी मान के अलावा एक अनुमानित मान (estimated value) है।
माध्य विचलन (mean deviation) की गणना में इसके उपयोग को छोड़कर यह आगे के गणितीय उपचार (mathematical treatment) के लिए उपयुक्त नहीं है।
यह सभी अवलोकनों को ध्यान में नहीं रखता है।

बहुलक (Mode)

बहुलक (mode) एक वितरण में उस मान को संदर्भित करता है, जो सबसे अधिक बार होता है। यह एक वास्तविक मूल्य है, जिसमें वस्तुओं की उच्चतम सांद्रता (highest concentration) होती है। यह दिए गए मान के आसपास आवृत्ति की सांद्रता के केंद्र को दर्शाता है। इसलिए, जहां उद्देश्य उच्चतम सांद्रता के बिंदु को जानना है, इसे प्राथमिकता दी जाती है। इस प्रकार, यह एक स्थितिगत उपाय (positional measure) है।

कृषि में इसका बहुत महत्व है जैसे किसी फसल की किस्म की विशिष्ट ऊंचाई (typical height) खोजना, किसी क्षेत्र में सिंचाई का अधिकतम स्रोत खोजना, अधिकतम बीमारी वाली धान की किस्म खोजना। इस प्रकार गुणात्मक डेटा (qualitative data) के मामले में बहुलक एक महत्वपूर्ण उपाय है।

बहुलक की गणना (Computation of the mode)

अवर्गीकृत या कच्चा डेटा (Ungrouped or Raw Data)

अवर्गीकृत डेटा या व्यक्तिगत अवलोकनों की एक श्रृंखला के लिए, बहुलक अक्सर केवल निरीक्षण (inspection) द्वारा पाया जाता है।

उदाहरण 8 (Example 8)

निम्नलिखित बीज वजन के लिए बहुलक खोजें: 2, 7, 10, 15, 10, 17, 8, 10, 2 ग्राम

यहाँ 10 सबसे अधिक बार (3 बार) आया है। ∴ बहुलक (Mode) = 10

कुछ मामलों में बहुलक अनुपस्थित (absent) हो सकता है जबकि कुछ मामलों में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं।

उदाहरण 9 (Example 9)

12, 10, 15, 24, 30 (कोई बहुलक नहीं - no mode)
7, 10, 15, 12, 7, 14, 24, 10, 7, 20, 10 (यहाँ बहुलक मान 7 और 10 हैं क्योंकि दोनों 3-3 बार आते हैं - bimodal)

समूहीकृत डेटा (Grouped Data)

असतत वितरण (Discrete distribution) के लिए, उच्चतम आवृत्ति (highest frequency) देखें और x का संबंधित मान बहुलक है।

उदाहरण: निम्नलिखित के लिए बहुलक खोजें:

ज्वार का वजन ग्राम में (Weight of sorghum in gms - x)	50	65	75	80	95	100
बालियों की संख्या (No. of ear head - f)	4	6	16	8	7	4

समाधान (Solution)

अधिकतम आवृत्ति 16 है। संबंधित x मान 75 है। ∴ बहुलक (mode) = 75 ग्राम।

निरंतर वितरण (Continuous distribution)

उच्चतम आवृत्ति का पता लगाएं, उस आवृत्ति के अनुरूप वर्ग को बहुलक वर्ग (modal class) कहा जाता है। फिर सूत्र लागू करें।

$$ Mode = l + \frac{f - f_p}{2f - f_p - f_s} \times c $$

जहाँ:
$ l $ = बहुलक वर्ग की निचली सीमा (lower limit of the model class)
$ f $ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
$ f_p $ = बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की आवृत्ति (frequency of the class preceding the model class)
$ f_s $ = बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की आवृत्ति (frequency of the class succeeding the model class)
$ c $ = वर्ग अंतराल (class interval)

उदाहरण 10 (Example 10)

नीचे दी गई तालिका में ज्वार की बालियों के वजन के आवृत्ति वितरण के लिए बहुलक की गणना करें।

बालियों का वजन (Weights in g)	60-80	80-100	100-120	120-140	140-160
बालियों की संख्या (f)	22	38	45	35	20

समाधान (Solution)

यहाँ अधिकतम आवृत्ति 45 है, इसलिए बहुलक वर्ग 100-120 है।
$ l = 100 $, $ f = 45 $, $ f_p = 38 $, $ f_s = 35 $, $ c = 20 $

$$ Mode = 100 + \frac{45 - 38}{2(45) - 38 - 35} \times 20 = 100 + \frac{7}{90 - 73} \times 20 = 100 + \frac{140}{17} = 100 + 8.235 = 108.235 \text{ g} $$

ज्यामितीय माध्य (Geometric mean)

n अवलोकनों वाली एक श्रृंखला का ज्यामितीय माध्य (geometric mean) मानों के गुणनफल (product) का nवाँ मूल (nth root) है।

यदि $ x_1, x_2 \dots x_n $ अवलोकन हैं तो:

$$ G.M = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dots x_n} $$

$$ \log GM = \frac{1}{n} (\log x_1 + \log x_2 + \dots + \log x_n) = \frac{\sum \log x}{n} $$

$$ GM = \text{Antilog} \left( \frac{\sum \log x}{n} \right) $$

समूहीकृत डेटा के लिए (For grouped data)

$$ GM = \text{Antilog} \left( \frac{\sum f \log x}{n} \right) $$

GM का उपयोग जीवाणु वृद्धि (bacterial growth), कोशिका विभाजन (cell division) आदि जैसे अध्ययनों में किया जाता है।

उदाहरण 11 (Example 11)

यदि ज्वार की बालियों का वजन 45, 60, 48, 100, 65 ग्राम है। निम्नलिखित डेटा के लिए ज्यामितीय माध्य (Geometric mean) ज्ञात करें।

बालियों का वजन x (Weight of ear head x)	Log x
45	1.653
60	1.778
48	1.681
100	2.000
65	1.813
कुल (Total)	8.925

यहाँ $ n = 5 $

$$ GM = \text{Antilog} \left( \frac{8.925}{5} \right) = \text{Antilog} (1.785) = 60.95 $$

समूहीकृत डेटा (Grouped Data)

उदाहरण 12 (Example 12)

निम्नलिखित के लिए ज्यामितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

ज्वार का वजन (x)	50	63	65	130	135
बालियों की संख्या (f)	5	10	5	15	15

(नोट: पीडीएफ में डेटा में कुछ त्रुटियां थीं, यहाँ सुधारा गया है)

$$ GM = \text{Antilog} \left( \frac{\sum f \log x}{n} \right) = \text{Antilog} \left( \frac{99.21}{50} \right) = \text{Antilog}(1.9842) = 96.43 $$

निरंतर वितरण (Continuous distribution)

उदाहरण 13 (Example 13)

ज्वार की बालियों के वजन के आवृत्ति वितरण के लिए ज्यामितीय माध्य की गणना करें।

वजन (Weights)	60-80	80-100	100-120	120-140	140-160
आवृत्ति (f)	22	38	45	35	20
मध्य x (Mid x)	70	90	110	130	150

$$ \sum f \log x = 324.2 $$

$$ GM = \text{Antilog} \left( \frac{324.2}{160} \right) = \text{Antilog} (2.026) = 106.23 $$

हरात्मक माध्य (Harmonic mean - H.M)

अवलोकनों के एक सेट के हरात्मक माध्य (Harmonic mean) को दिए गए मानों के व्युत्क्रम (reciprocal) के अंकगणितीय औसत के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि $ x_1, x_2 \dots x_n $ n अवलोकन हैं, तो:

$$ H.M = \frac{n}{\sum \left( \frac{1}{x} \right)} $$

आवृत्ति वितरण (frequency distribution) के लिए:

$$ H.M = \frac{n}{\sum \left( \frac{f}{x} \right)} $$

H.M का उपयोग तब किया जाता है जब हम गति (speed), दर (rates) आदि से निपट रहे हों।

उदाहरण 14 (Example 14)

दिए गए डेटा 5, 10, 17, 24, 30 से H.M की गणना करें।

$$ \sum \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{17} + \frac{1}{24} + \frac{1}{30} = 0.2 + 0.1 + 0.0588 + 0.0417 + 0.0333 = 0.4338 $$

$$ H.M = \frac{5}{0.4338} = 11.526 $$

H.M के गुण (Merits of H.M)

यह दृढ़ता से परिभाषित (rigidly defined) है।
यह सभी अवलोकनों पर परिभाषित है।
यह आगे के बीजगणितीय उपचार (algebraic treatment) के अनुकूल है।
यह सबसे उपयुक्त औसत है जब छोटे अवलोकनों को अधिक भार (greater weight) और बड़े अवलोकनों को कम भार देना वांछित हो।

H.M के अवगुण (Demerits of H.M)

इसे आसानी से समझा नहीं जा सकता है।
इसकी गणना करना कठिन है।
यह समूहीकृत डेटा (grouped data) में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है।

प्रतिशतक (Percentiles)

प्रतिशतक मान (percentile values) वितरण को 100 भागों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक में 1 प्रतिशत मामले होते हैं। xवाँ प्रतिशतक वह मान है जिसके नीचे वितरण में x प्रतिशत मान आते हैं। यह ध्यान दिया जा सकता है कि माध्यिका (median) 50वाँ प्रतिशतक है।

कच्चे डेटा (raw data) के लिए, पहले n अवलोकनों को बढ़ते क्रम (increasing order) में व्यवस्थित करें। फिर xवाँ प्रतिशतक इस प्रकार दिया जाता है:

$$ P_x = \left( \frac{x(n+1)}{100} \right)^{th} \text{ item} $$

आवृत्ति वितरण (frequency distribution) के लिए xवाँ प्रतिशतक इस प्रकार दिया जाता है:

$$ P_x = l + \frac{\left( \frac{x \cdot n}{100} \right) - m}{f} \times c $$

जहाँ $ l $ = प्रतिशतक वर्ग की निचली सीमा (lower limit of the percentile class), $ m $ = प्रतिशतक वर्ग से पहले संचयी आवृत्ति (cumulative frequency), $ f $ = आवृत्ति, $ c $ = वर्ग अंतराल।

चतुर्थक (Quartiles)

चतुर्थक वितरण को चार भागों में विभाजित करते हैं। तीन चतुर्थक होते हैं। दूसरा चतुर्थक (second quartile) वितरण को दो हिस्सों में बांटता है और इसलिए माध्यिका (median) के समान है। पहला (निचला) चतुर्थक (first lower quartile - Q1) पहले एक-चौथाई (one-fourth) को चिह्नित करता है, तीसरा (ऊपरी) चतुर्थक (third upper quartile - Q3) तीन-चौथाई (three-fourth) को चिह्नित करता है।

$$ Q_1 = \left( \frac{n+1}{4} \right)^{th} \text{ item} $$

$$ Q_3 = 3 \left( \frac{n+1}{4} \right)^{th} \text{ item} $$

प्रश्न (Questions)

एक क्रमित श्रृंखला (ordered series) के मध्य मान (middle value) को कहा जाता है:

a) दूसरा चतुर्थक (2nd quartile)
b) 5वाँ दशमक (5th decile)
c) 50वाँ प्रतिशतक (50th percentile)
d) उपरोक्त सभी (all the above)

उत्तर (Ans): उपरोक्त सभी (all the above)
मानों के एक सेट के लिए बहुलक मान (model value) हो सकता है:

a) एक-बहुलक (Unimodal)
b) द्वि-बहुलक (bimodal)
c) त्रि-बहुलक (Trimodal)
d) इनमें से सभी (All of these)

उत्तर (Ans): इनमें से सभी (All of these)
बहुलक (Mode) गुणात्मक डेटा (qualitative data) के लिए उपयुक्त है।

उत्तर (Ans): सत्य (True)
दशमक (Decile) समूह को दस समान भागों में विभाजित करता है।

उत्तर (Ans): सत्य (True)
माध्य (Mean) चरम मूल्यों (extreme values) से प्रभावित होता है।

उत्तर (Ans): सत्य (True)
ज्यामितीय माध्य (Geometric mean) की गणना नकारात्मक मानों (negative values) के लिए की जा सकती है।

उत्तर (Ans): असत्य (False)
माध्य (mean) और माध्यिका (median) को परिभाषित करें।
किस प्रकार के डेटा के लिए बहुलक (mode) की गणना की जा सकती है।
कच्चे और समूहीकृत डेटा के लिए अंकगणितीय माध्य (arithmetic mean) की गणना कैसे करें, स्पष्ट करें।
समूहीकृत डेटा के लिए माध्यिका (median) और बहुलक (mode) की गणना कैसे करें, स्पष्ट करें।

अस्वीकरण (Disclaimer):
यह स्टडी मटेरियल ICAR के मूल कंटेंट का हिंदी अनुवाद है। हम इसकी पूर्ण सटीकता के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। यह फाइल अभी केवल सुधार और परीक्षण (Improvement Purpose) के लिए यहाँ उपलब्ध कराई गई है। बहुत जल्द हम इसे डाउनलोड करने के लिए PDF फॉर्मेट में अपडेट करेंगे।

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