प्रतिगमन (Regression)

व्याख्यान 13 (Lecture 13)

प्रतिगमन - परिभाषा - सरल रैखिक प्रतिगमन समीकरण की फिटिंग (fitting of simple linear regression equation) - प्रतिगमन गुणांक की सार्थकता का परीक्षण (testing the significance of the regression coefficient)

प्रतिगमन (Regression)

प्रतिगमन दो चरों के बीच कार्यात्मक संबंध (functional relationship) है और दो चरों में से एक कारण (cause) और दूसरा प्रभाव (effect) का प्रतिनिधित्व कर सकता है। कारण को दर्शाने वाले चर को स्वतंत्र चर (independent variable) के रूप में जाना जाता है और इसे \( X \) द्वारा दर्शाया जाता है। चर \( X \) को भविष्यवक्ता चर (predictor variable) या रिप्रेसर (repressor) के रूप में भी जाना जाता है। प्रभाव (effect) का प्रतिनिधित्व करने वाले चर को आश्रित चर (dependent variable) के रूप में जाना जाता है और इसे \( Y \) द्वारा दर्शाया जाता है। \( Y \) को अनुमानित चर (predicted variable) के रूप में भी जाना जाता है।

आश्रित और स्वतंत्र चर के बीच संबंध को एक फलन (function) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और ऐसे कार्यात्मक संबंध को प्रतिगमन कहा जाता है। जब केवल दो चर होते हैं तो कार्यात्मक संबंध को सरल प्रतिगमन (simple regression) के रूप में जाना जाता है और यदि दो चरों के बीच संबंध एक सीधी रेखा (straight line) है तो इसे सरल रैखिक प्रतिगमन (simple linear regression) कहा जाता है। जब दो से अधिक चर होते हैं और एक चर दूसरों पर निर्भर होता है, तो कार्यात्मक संबंध को एकाधिक प्रतिगमन (multiple regression) के रूप में जाना जाता है।

प्रतिगमन रेखा \( y = a + bx \) के रूप की होती है, जहाँ \( a \) एक स्थिरांक (constant) या अवरोधन (intercept) है और \( b \) प्रतिगमन गुणांक (regression coefficient) या ढलान (slope) है। न्यूनतम वर्गों की विधि (method of least squares) का उपयोग करके \( a \) और \( b \) के मान की गणना की जा सकती है।

\( x \) पर \( y \) का प्रतिगमन समीकरण (regression equation) इस प्रकार है:

$$ y = a + bx $$

\( x \) पर \( y \) का प्रतिगमन गुणांक (regression coefficient) \( b \) इस प्रकार है:

$$ b = \frac{\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}}{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}} $$

और \( a \) इस प्रकार है:

$$ a = \bar{y} - b\bar{x} $$

प्रतिगमन रेखा स्वतंत्र चर \( X \) के विशेष मान से जुड़े आश्रित चर \( Y \) के औसत मान (average value) को इंगित करती है।

मान्यताएं (Assumptions)

  1. \( X \) गैर-यादृच्छिक (non-random) या निश्चित स्थिरांक (fixed constants) हैं।
  2. \( X \) के प्रत्येक निश्चित मान पर \( Y \) के संगत मानों का माध्य के बारे में प्रसामान्य वितरण (normal distribution) होता है।
  3. किसी भी दिए गए \( x \) के लिए, \( Y \) का प्रसरण समान होता है।
  4. \( x \) के विभिन्न स्तरों पर देखे गए \( y \) के मान पूरी तरह से स्वतंत्र (completely independent) हैं।

प्रतिगमन गुणांक के गुण (Properties of Regression coefficients)

  1. सहसंबंध गुणांक (correlation coefficient) दो प्रतिगमन गुणांकों का ज्यामितीय माध्य (geometric mean) है। \((r = \pm \sqrt{b_{xy} \times b_{yx}})\)
  2. प्रतिगमन गुणांक मूल के परिवर्तन (change of origin) से स्वतंत्र हैं लेकिन पैमाने (scale) के नहीं।
  3. यदि एक प्रतिगमन गुणांक एक से बड़ा (greater than unit) है, तो दूसरा एक से कम (less than unit) होना चाहिए लेकिन इसके विपरीत नहीं। यानी दोनों प्रतिगमन गुणांक एक से कम हो सकते हैं लेकिन दोनों एक से बड़े नहीं हो सकते। यदि \( b_1 > 1 \) है तो \( b_2 < 1 \) और यदि \( b_2 > 1 \) है तो \( b_1 < 1 \) होगा।
  4. इसके अलावा यदि एक प्रतिगमन गुणांक धनात्मक (positive) है तो दूसरा भी धनात्मक होना चाहिए (इस मामले में सहसंबंध गुणांक दो प्रतिगमन गुणांकों के उत्पाद का धनात्मक वर्गमूल है) और यदि एक प्रतिगमन गुणांक ऋणात्मक (negative) है तो दूसरा भी ऋणात्मक होना चाहिए। यदि \( b_1 > 0 \), तो \( b_2 > 0 \) और यदि \( b_1 < 0 \), तो \( b_2 < 0 \)।
  5. यदि \( \theta \) दो प्रतिगमन रेखाओं के बीच का कोण (angle) है तो यह इस प्रकार दिया जाता है:
    $$ \tan \theta = \frac{1 - r^2}{r} \left(\frac{\sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}\right) $$

प्रतिगमन गुणांक की सार्थकता का परीक्षण (Testing the significance of regression co-efficient)

प्रतिगमन गुणांक के सार्थकता (significance) का परीक्षण करने के लिए हम t-परीक्षण या प्रसरण का विश्लेषण (ANOVA / F परीक्षण) लागू कर सकते हैं।

प्रतिगमन गुणांक के परीक्षण के लिए एनोवा (ANOVA) तालिका:

विविधता के स्रोत (Sources of variation) d.f. SS (वर्गों का योग) MS (माध्य वर्ग) F
प्रतिगमन के कारण (Due to regression) \( 1 \) \( SS(b) \) \( S_b^2 = \frac{SS(b)}{1} \) \( \frac{S_b^2}{S_e^2} \)
प्रतिगमन से विचलन (Deviation from regression / Error) \( n - 2 \) \( SS(Y) - SS(b) \) \( S_e^2 = \frac{SS(Y) - SS(b)}{n - 2} \)
कुल (Total) \( n - 1 \) \( SS(Y) \)

t-परीक्षण के मामले में परीक्षण सांख्यिकी (test statistic) इस प्रकार दी जाती है:

$$ t = \frac{b}{SE(b)} \quad \text{जहाँ} \quad SE(b) = \frac{S_e}{\sqrt{SS(X)}} $$

प्रतिगमन के उपयोग (Uses of Regression)

प्रतिगमन विश्लेषण दूसरे चर के दिए गए मान से एक चर के मान की भविष्यवाणी (predicting) करने में उपयोगी है। ऐसी भविष्यवाणियाँ तब उपयोगी होती हैं जब आश्रित चर (Y) को मापना बहुत कठिन या महंगा हो। प्रतिगमन विश्लेषण का दूसरा उपयोग चरों के बीच कारण संबंध (causal relationship) का पता लगाना है। मान लीजिए कि हम चर X में हेरफेर (manipulate) करते हैं और चर X पर Y का एक महत्वपूर्ण प्रतिगमन प्राप्त करते हैं। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि चर X और Y के बीच एक कारण संबंध है। मिट्टी में नाइट्रोजन की मात्रा और पौधे की विकास दर, या कीटनाशक की खुराक और कीटों की मृत्यु दर के बीच का कारण संबंध इसी तरह स्थापित किया जा सकता है।

उदाहरण 1 (Example 1)

धान के एक खेत से यादृच्छिक रूप से 36 पौधे (n = 36) चुने गए। चयनित पौधों के पुष्पगुच्छों (panicles) की लंबाई X (सेमी में) और प्रति पुष्पगुच्छ दानों की संख्या (Y) दर्ज की गई। x पर y की प्रतिगमन रेखा (regression line) फिट करें। साथ ही प्रतिगमन गुणांक की सार्थकता का परीक्षण करें।

डेटा का सारांश (Summary of data):
\( n = 36 \)
\( \sum X = 822.9 \)
\( \sum Y = 4174 \)
\( \sum X^2 = 18876.83 \)
\( \sum Y^2 = 496258 \)
\( \sum XY = 96183.4 \)

समाधान (Solution):
शून्य परिकल्पना (\( H_0 \)): प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण नहीं है।
वैकल्पिक परिकल्पना (\( H_1 \)): प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण है।

X का वर्गों का योग (Sum of Squares of X):

$$ SS(X) = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 18876.83 - \frac{(822.9)^2}{36} = 18876.83 - 18810.12 = 66.71 $$

Y का वर्गों का योग (Sum of Squares of Y):

$$ SS(Y) = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 496258 - \frac{(4174)^2}{36} = 496258 - 483952.11 = 12305.89 $$

X और Y के उत्पादों का योग (Sum of Products of X and Y):

$$ SP(XY) = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 96183.4 - \frac{822.9 \times 4174}{36} = 96183.4 - 95410.55 = 772.85 $$

प्रतिगमन गुणांक (Regression coefficient) \( b \):

$$ b = \frac{SP(XY)}{SS(X)} = \frac{772.85}{66.71} = 11.5837 $$

माध्य (Means):

$$ \bar{x} = \frac{822.9}{36} = 22.86 $$
$$ \bar{y} = \frac{4174}{36} = 115.94 $$

अवरोधन (Intercept) \( a \):

$$ a = \bar{y} - b\bar{x} = 115.94 - (11.5837 \times 22.86) = 115.94 - 264.80 = -148.86 $$

फिट की गई प्रतिगमन रेखा (Fitted regression line) है:

$$ y = a + bx = -148.86 + 11.5837x $$

एनोवा (ANOVA) तालिका और परीक्षण:

प्रतिगमन के कारण वर्गों का योग (SS due to regression):

$$ SS(b) = \frac{(SP(XY))^2}{SS(X)} = \frac{(772.85)^2}{66.71} = 8950.88 $$

त्रुटि के कारण वर्गों का योग (SS Error):

$$ SS(e) = SS(Y) - SS(b) = 12305.89 - 8950.88 = 3355.01 $$
विभिन्नता के स्रोत (Sources of Variation) d.f. SS MSS F
प्रतिगमन (Regression) 1 8950.88 8950.88 \( \frac{8950.88}{98.67} = 90.71 \)
त्रुटि (Error) 36 - 2 = 34 3355.01 98.67
कुल (Total) 35 12305.89

t-परीक्षण के लिए (For t-test):

$$ SE(b) = \frac{\sqrt{MSS(Error)}}{\sqrt{SS(X)}} = \frac{\sqrt{98.67}}{\sqrt{66.71}} = \frac{9.933}{8.167} = 1.216 $$
$$ t = \frac{b}{SE(b)} = \frac{11.5837}{1.216} = 9.52 $$

5% स्तर पर 34 d.f. के लिए t का तालिका मान (Table Value) \( t_{tab} = 2.032 \) है।
निष्कर्ष: चूँकि \( t > t_{tab} \), हम \( H_0 \) को अस्वीकार करते हैं। इसलिए t सार्थक (significant) है। प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण है।

प्रश्न (Questions)

  1. जब सहसंबंध गुणांक \( r = +1 \) हो, तो दो प्रतिगमन रेखाएं:

    (a) एक दूसरे के लंबवत (perpendicular) हैं
    (b) संपाती (coincide) हैं
    (c) एक दूसरे के समानांतर (parallel) हैं
    (d) इनमें से कोई नहीं

    उत्तर (Ans): (b) संपाती (coincide) हैं

  2. यदि एक प्रतिगमन गुणांक इकाई से अधिक है तो दूसरा होना चाहिए:

    (a) इकाई से अधिक
    (b) इकाई के बराबर
    (c) इकाई से कम (less than unity)
    (d) इनमें से कोई नहीं

    उत्तर (Ans): (c) इकाई से कम

  3. यदि दो चरों के बीच सहसंबंध धनात्मक है तो प्रतिगमन गुणांक धनात्मक होगा। सत्य (True)
  4. आश्रित चर (Dependent variable) को पूर्वानुमानित चर (predicted variable) भी कहा जाता है। सत्य (True)
  5. सहसंबंध गुणांक दो प्रतिगमन गुणांकों का ज्यामितीय माध्य (geometric mean) है। सत्य (True)
  6. प्रतिगमन दो चरों के बीच कार्यात्मक संबंध (functional relationship) देता है। सत्य (True)
  7. कारण और प्रभाव (Cause and effect) से क्या तात्पर्य है?
  8. प्रतिगमन गुणांक के गुणों (properties) को बताइए।
  9. निम्नलिखित डेटा से, प्रतिगमन समीकरण खोजें:
    \(\sum X = 21, \sum Y = 20, \sum X^2 = 91, \sum XY = 74, n = 7\)
  10. समझाइए कि x पर y के प्रतिगमन समीकरण को कैसे फिट किया जाए और प्रतिगमन गुणांक की सार्थकता का परीक्षण कैसे किया जाए।
अस्वीकरण (Disclaimer):
यह स्टडी मटेरियल ICAR के मूल कंटेंट का हिंदी अनुवाद है। हम इसकी पूर्ण सटीकता के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। यह फाइल अभी केवल सुधार और परीक्षण (Improvement Purpose) के लिए यहाँ उपलब्ध कराई गई है। बहुत जल्द हम इसे डाउनलोड करने के लिए PDF फॉर्मेट में अपडेट करेंगे।

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