प्रतिचयन - मूल अवधारणाएं - प्रतिचयन बनाम पूर्ण गणना, पैरामीटर (parameter) और सांख्यिकी (statistic) - प्रतिचयन विधियां - सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (simple random sampling) और स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिचयन (stratified random sampling)
समष्टि (Population) का अर्थ सभी संभावित इकाइयों (possible units) का योग है। यह आवश्यक नहीं है कि यह मानव आबादी हो। यह पौधों की समष्टि (population of plants), कीड़ों की समष्टि (population of insects), फलों की समष्टि आदि हो सकती है।
जब अवलोकनों की संख्या गिनी जा सकती है और निश्चित (definite) होती है, तो इसे परिमित समष्टि (finite population) के रूप में जाना जाता है।
जब किसी समष्टि में इकाइयों की संख्या इतनी अधिक होती है कि हम उन सभी को नहीं गिन सकते हैं, तो इसे अनंत समष्टि (infinite population) के रूप में जाना जाता है।
किसी समष्टि की सभी इकाइयों की सूची (list) को ढांचा (frame) कहा जाता है।
एक सारांश माप (summary measure) जो समष्टि की किसी भी दी गई विशेषता का वर्णन करता है उसे पैरामीटर के रूप में जाना जाता है। समष्टि का वर्णन कुछ मापों जैसे माध्य (mean), मानक विचलन (standard deviation) आदि के रूप में किया जाता है। समष्टि के इन मापों को पैरामीटर कहा जाता है और आमतौर पर ग्रीक अक्षरों (Greek letters) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, समष्टि माध्य को \( \mu \), मानक विचलन को \( \sigma \) और प्रसरण (variance) को \( \sigma^2 \) द्वारा दर्शाया जाता है।
कुल समष्टि का एक हिस्सा या छोटी संख्या प्रतिदर्श (sample) के रूप में जानी जाती है।
एक सारांश माप जो प्रतिदर्श की विशेषता का वर्णन करता है उसे सांख्यिकी (statistic) के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार प्रतिदर्श माध्य (sample mean), प्रतिदर्श मानक विचलन (sample standard deviation) आदि सांख्यिकी हैं। सांख्यिकी को आमतौर पर रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।
सांख्यिकी एक यादृच्छिक चर (random variable) है क्योंकि यह प्रतिदर्श से प्रतिदर्श में भिन्न (varies) होता है。
समष्टि से प्रतिदर्श (नमूने) चुनने की विधि को प्रतिचयन (sampling) के रूप में जाना जाता है।
सांख्यिकीय सर्वेक्षण (statistical survey) के दौरान दो तरीके हैं जिनसे जानकारी एकत्र की जाती है। वे हैं:
इसे समष्टि सर्वेक्षण (population survey) और पूर्ण गणना सर्वेक्षण (complete enumeration survey) के रूप में भी जाना जाता है। जनगणना सर्वेक्षण के तहत समष्टि या ब्रह्मांड की प्रत्येक इकाई (each and every unit) से जानकारी एकत्र की जाती है।
प्रतिदर्श समष्टि का एक हिस्सा है। जानकारी किसी समष्टि की सभी इकाइयों से नहीं, बल्कि केवल कुछ इकाइयों से एकत्र की जाती है। ऐसे सर्वेक्षण को प्रतिदर्श सर्वेक्षण (sample survey) कहा जाता है।
प्रतिचयन तकनीक प्रकृति में सार्वभौमिक (universal) है, जिसे जाने-अनजाने रोज़मर्रा की जिंदगी में अपनाया जाता है।
उदाहरण के लिए (For eg.):
प्रतिचयन विधियों (sampling methods) का बड़े पैमाने पर विभिन्न उद्देश्यों के लिए और स्थितियों की महान विविधता में उपयोग किया गया है।
व्यवहार में, निम्नलिखित विभिन्न कारणों से समष्टि की सभी इकाइयों पर जानकारी एकत्र करना संभव नहीं हो सकता है:
प्रतिचयन के विभिन्न तरीकों को निम्नानुसार समूहीकृत किया जा सकता है:
इस विधि के तहत, किसी भी स्तर पर समष्टि की प्रत्येक इकाई के पास समान अवसर (equal chance) होता है (या) प्रत्येक इकाई को ज्ञात प्रायिकता (known probability) के साथ निकाला जाता है। यह समष्टि के माध्य, प्रसरण आदि का अनुमान लगाने में मदद करता है।
प्रायिकता प्रतिचयन के तहत दो प्रक्रियाएं (procedures) हैं:
जब पिछले ड्रॉ में चयनित इकाइयों को वापस रखकर क्रमिक ड्रॉ (successive draws) किए जाते हैं, तो इसे प्रतिस्थापन के साथ प्रतिचयन (sampling with replacement) के रूप में जाना जाता है। जब ऐसा प्रतिस्थापन नहीं किया जाता है तो इसे प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन (sampling without replacement) कहा जाता है।
जब समष्टि परिमित (finite) हो तो प्रतिस्थापन के साथ प्रतिचयन अपनाया जाता है अन्यथा SWOR अपनाया जाता है।
मुख्य रूप से यादृच्छिक प्रतिचयन कई प्रकार के होते हैं। उनमें से कुछ हैं:
मूल प्रायिकता प्रतिचयन विधि सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (simple random sampling) है। यह सभी प्रायिकता प्रतिचयन विधियों में सबसे सरल है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब समष्टि सजातीय (homogeneous) हो।
जब नमूने की इकाइयों को समान प्रायिकताओं (equal probabilities) के साथ स्वतंत्र रूप से खींचा जाता है। प्रतिचयन विधि को सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRS) के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यदि समष्टि में \( N \) इकाइयाँ हैं, तो किसी भी इकाई के चयन की प्रायिकता \( 1/N \) है।
SRS की एक सैद्धांतिक परिभाषा इस प्रकार है:
मान लीजिए कि हम \( N \) आकार की समष्टि से \( n \) आकार का नमूना निकालते हैं। \( n \) आकार के \( ^NC_n \) संभावित नमूने हैं। यदि खींचे जाने वाले सभी संभावित नमूनों की प्रायिकता \( 1/^NC_n \) समान है, तो प्रतिचयन को सरल यादृच्छिक प्रतिचयन कहा जाता है।
SRS में दो तरीके हैं:
यह सबसे लोकप्रिय तरीका और सबसे सरल तरीका है। इस पद्धति में ब्रह्मांड (universe) की सभी वस्तुओं को एक ही आकार, आकृति और रंग के कागज की अलग-अलग पर्चियों (slips) पर गिना जाता है। उन्हें मोड़ा जाता है और एक ड्रम या बॉक्स या कंटेनर में मिलाया जाता है। एक अंधाधुंध (blindfold) चयन किया जाता है। वांछित नमूना आकार (desired sample size) के लिए पर्चियों की आवश्यक संख्या का चयन किया जाता है। इस प्रकार वस्तुओं का चयन अवसर (chance) पर निर्भर करता है।
उदाहरण के लिए, यदि हम एक भूखंड (plot) में 50 पौधों में से 5 पौधों का चयन करना चाहते हैं, तो हम पहले 50 पौधों की संख्या लेते हैं। हम समान आकार की पर्चियों पर 1-50 तक की संख्या लिखते हैं, उन्हें रोल करते हैं और मिलाते हैं। फिर हम 5 पौधों का अंधाधुंध चयन करते हैं। इस पद्धति को अप्रतिबंधित यादृच्छिक प्रतिचयन (unrestricted random sampling) भी कहा जाता है क्योंकि इकाइयों को बिना किसी प्रतिबंध के समष्टि से चुना जाता है। इस पद्धति का उपयोग ज्यादातर लॉटरी ड्रा में किया जाता है। यदि समष्टि अनंत (infinite) है, तो यह विधि अनुपयुक्त है। यदि पर्चियों का आकार और आकृति समान नहीं है, तो व्यक्तिगत पूर्वाग्रह (personal prejudice) की बहुत संभावना है।
चूंकि लॉटरी विधि का उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब समष्टि अनंत (infinite) हो, वैकल्पिक तरीका (alternative method) यादृच्छिक संख्याओं की तालिका (table of random numbers) का उपयोग करना है।
यादृच्छिक संख्याओं की कई मानक तालिकाएँ (standard tables) हैं। लेकिन इस तकनीक का श्रेय प्रो. एल.एच.सी. टिपेट (Prof. LHC. Tippet, 1927) को जाता है। यादृच्छिक संख्या तालिका में 10,400 चार-अंकीय संख्याएँ (four-figured numbers) होती हैं। कई अन्य यादृच्छिक संख्याएँ भी हैं। वे फिशर और येट्स (Fisher and Yates, 1938) हैं जिनमें 15,000 अंक (digits) दो-दो में व्यवस्थित हैं। केंडल और बी.बी. स्मिथ (Kendall and B.B Smith, 1939) में 1,00,000 संख्याएँ शामिल हैं जिन्हें 4 अंकों के 25,000 सेटों में समूहीकृत (grouped) किया गया है, रैंड कॉर्पोरेशन (Rand corporation, 1955) में 5 अंकों के 2,00,000 यादृच्छिक संख्याएँ शामिल हैं आदि।
गुण (Merits)
दोष (Demerits)
जब समष्टि उस विशेषता के संबंध में विषम (heterogeneous) होती है जिसमें हम रुचि रखते हैं, तो हम स्तरीकृत प्रतिचयन (stratified sampling) अपनाते हैं।
जब विषम समष्टि को समरूप उप-समष्टि (homogenous sub-population) में विभाजित किया जाता है, तो उप-समष्टि को स्तर (strata) कहा जाता है। सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (simple random sampling) का उपयोग करके प्रत्येक स्तर (stratum) से एक अलग नमूना चुना जाता है। इस प्रतिचयन विधि को स्तरीकृत प्रतिचयन (stratified sampling) के रूप में जाना जाता है।
हम खेत के आकार (size of farm), फसल के प्रकार, मिट्टी के प्रकार आदि के आधार पर स्तरीकरण (stratify) कर सकते हैं।
चयन की जाने वाली इकाइयों की संख्या सभी स्तरों में समान (uniform) हो सकती है (या) एक स्तर से दूसरे स्तर में भिन्न (vary) हो सकती है।
स्तरों के आवंटन (allocation) के चार प्रकार हैं:
यदि चुनी जाने वाली इकाइयों की संख्या सभी स्तरों में समान (uniform) है, तो इसे नमूनों के समान आवंटन (equal allocation) के रूप में जाना जाता है।
यदि किसी स्तर से चुनी जाने वाली इकाइयों की संख्या स्तर के आकार के समानुपाती (proportional) है, तो इसे नमूनों के आनुपातिक आवंटन (proportional allocation) के रूप में जाना जाता है。
जब प्रति इकाई लागत (cost per unit) एक स्तर से दूसरे स्तर में भिन्न होती है, तो इसे इष्टतम आवंटन (optimum allocation) के रूप में जाना जाता है।
जब विभिन्न स्तरों के लिए लागत समान (equal) होती है, तो इसे नेमन का आवंटन (Neyman’s allocation) कहा जाता है।
गुण (Merits)
दोष (Demerits)