यादृच्छिक ब्लॉक अभिकल्पना में \(2^2\) कारकीय प्रयोग (\(2^2\) Factorial Experiments in RBD)
व्याख्यान 19 (Lecture 19)
RBD में \(2^2\) कारकीय प्रयोग - लेआउट, प्रसरण विश्लेषण और येट्स की विधि (Layout, Analysis of Variance and Yates's Technique)
1. \(2^2\) कारकीय प्रयोग की अवधारणा (Concept of \(2^2\) Factorial Experiment)
\(2^2\) कारकीय प्रयोग का अर्थ है ऐसा प्रयोग जिसमें दो कारक (Two Factors) शामिल हैं और प्रत्येक कारक के दो स्तर (Two Levels) हैं।
मान लीजिए कि दो कारक \(A\) और \(B\) हैं। प्रत्येक कारक के दो स्तर निम्नलिखित हैं:
- कारक \(A\) के स्तर: \(a_0\) (निम्न स्तर) और \(a_1\) (उच्च स्तर)
- कारक \(B\) के स्तर: \(b_0\) (निम्न स्तर) और \(b_1\) (उच्च स्तर)
अतः कुल उपचार संयोजनों (Treatment Combinations) की संख्या \(2 \times 2 = 4\) होगी:
- \(a_0b_0\) या \((1)\): दोनों कारक अपने निम्न स्तर पर (नियंत्रण / Control)।
- \(a_1b_0\) या \(a\): कारक A उच्च स्तर पर और कारक B निम्न स्तर पर।
- \(a_0b_1\) या \(b\): कारक A निम्न स्तर पर और कारक B उच्च स्तर पर।
- \(a_1b_1\) या \(ab\): दोनों कारक अपने उच्च स्तर पर।
2. RBD में लेआउट और यादृच्छिकीकरण (Layout in RBD)
इन चार उपचार संयोजनों को यादृच्छिक ब्लॉक अभिकल्पना (Randomized Block Design - RBD) में निम्नलिखित विधि से व्यवस्थित किया जाता है:
- प्रयोग को \(r\) पुनरावृत्तियों (Replications) या ब्लॉकों (Blocks) में विभाजित किया जाता है।
- प्रत्येक ब्लॉक को चार प्रयोगात्मक इकाइयों (Experimental Units / Plots) में बांटा जाता है।
- यादृच्छिक संख्या तालिका (Random Number Table) या लॉटरी विधि का उपयोग करके इन चार उपचार संयोजनों को प्रत्येक ब्लॉक में पूरी तरह से यादृच्छिक (Randomly) रूप से आवंटित किया जाता है।
- पूरे प्रयोग में कुल प्रयोगात्मक इकाइयों (प्लॉट्स) की संख्या \(N = 4 \times r = 4r\) होगी।
क्षेत्रीय लेआउट का उदाहरण (Field Layout for \(r = 3\) Replications):
| ब्लॉक I (पुनरावृत्ति 1) |
ब्लॉक II (पुनरावृत्ति 2) |
ब्लॉक III (पुनरावृत्ति 3) |
| \(a_1b_0\) (\(a\)) |
\(a_0b_1\) (\(b\)) |
\(a_1b_1\) (\(ab\)) |
| \(a_0b_0\) (\((1)\)) |
\(a_1b_1\) (\(ab\)) |
\(a_0b_0\) (\((1)\)) |
| \(a_1b_1\) (\(ab\)) |
\(a_0b_0\) (\((1)\)) |
\(a_1b_0\) (\(a\)) |
| \(a_0b_1\) (\(b\)) |
\(a_1b_0\) (\(a\)) |
\(a_0b_1\) (\(b\)) |
3. सांख्यिकीय मॉडल (Statistical Model)
RBD में \(2^2\) कारकीय प्रयोग के लिए रैखिक सांख्यिकीय मॉडल निम्नलिखित है:
$$ Y_{ijk} = \mu + r_k + A_i + B_j + (AB)_{ij} + e_{ijk} $$
जहाँ:
- \(Y_{ijk} = \) \(k\)-वीं पुनरावृत्ति में \(i\)-वें स्तर के कारक A और \(j\)-वें स्तर के कारक B से प्राप्त उपज का मान।
- \(\mu = \) सामान्य माध्य (Overall Mean)।
- \(r_k = \) \(k\)-वीं पुनरावृत्ति का प्रभाव (\(k = 1, 2, \dots, r\))।
- \(A_i = \) कारक A के \(i\)-वें स्तर का मुख्य प्रभाव (\(i = 0, 1\))।
- \(B_j = \) कारक B के \(j\)-वें स्तर का मुख्य प्रभाव (\(j = 0, 1\))।
- \((AB)_{ij} = \) कारक A और B के बीच परस्पर क्रिया प्रभाव (अंतर्क्रिया)।
- \(e_{ijk} = \) यादृच्छिक प्रयोगात्मक त्रुटि, जो सामान्य रूप से स्वतंत्र रूप से वितरित होती है \(\sim N(0, \sigma_e^2)\)।
4. प्रसरण विश्लेषण तालिका (ANOVA Table for \(2^2\) Factorial in RBD)
\(r\) पुनरावृत्तियों के साथ \(2^2\) कारकीय प्रयोग की प्रसरण विश्लेषण तालिका (ANOVA Table) नीचे दी गई है:
| प्रसरण के स्रोत (Source of Variation) |
स्वतंत्रता की कोटि (d.f.) |
वर्गों का योग (SS) |
माध्य वर्ग योग (MSS) |
परिकलित F-अनुपात (\(F_{\text{cal}}\)) |
| पुनरावृत्ति (Replications) |
\(r - 1\) |
\(RSS\) |
\(RMS = \frac{RSS}{r-1}\) |
\(F_R = \frac{RMS}{EMS}\) |
| उपचार (Treatments) |
\(4 - 1 = 3\) |
\(TrSS\) |
\(TrMS = \frac{TrSS}{3}\) |
\(F_{Tr} = \frac{TrMS}{EMS}\) |
| — कारक A (मुख्य प्रभाव A) |
\(1\) |
\(ASS\) |
\(AMS = \frac{ASS}{1}\) |
\(F_A = \frac{AMS}{EMS}\) |
| — कारक B (मुख्य प्रभाव B) |
\(1\) |
\(BSS\) |
\(BMS = \frac{BSS}{1}\) |
\(F_B = \frac{BMS}{EMS}\) |
| — अंतर्क्रिया AB (\(A \times B\)) |
\(1\) |
\(ABSS\) |
\(ABMS = \frac{ABSS}{1}\) |
\(F_{AB} = \frac{ABMS}{EMS}\) |
| प्रयोगात्मक त्रुटि (Error) |
\((r - 1)(4 - 1) = 3(r - 1)\) |
\(ESS\) |
\(EMS = \frac{ESS}{3(r-1)}\) |
— |
| कुल (Total) |
\(4r - 1\) |
\(TSS\) |
— |
— |
5. वर्गों के योग (SS) की चरणबद्ध गणना विधि
चरण 1: सुधार कारक (Correction Factor - CF)
$$ CF = \frac{(GT)^2}{N} = \frac{(GT)^2}{4r} $$
जहाँ \(GT = \) सभी प्रयोगात्मक इकाइयों का महायोग (Grand Total)।
चरण 2: कुल वर्गों का योग (Total Sum of Squares - TSS)
$$ TSS = \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} Y_{ijk}^2 - CF $$
चरण 3: पुनरावृत्ति वर्गों का योग (Replication Sum of Squares - RSS)
$$ RSS = \frac{\sum_{k=1}^r R_k^2}{4} - CF = \frac{R_1^2 + R_2^2 + \dots + R_r^2}{4} - CF $$
चरण 4: \(A \times B\) द्विमार्गी तालिका (Two-Way Table)
सभी पुनरावृत्तियों के आंकड़ों को जोड़कर \(A \times B\) द्विमार्गी तालिका तैयार की जाती है:
| कारक A \(\downarrow\) \ कारक B \(\rightarrow\) |
\(b_0\) |
\(b_1\) |
A का कुल योग (\(A_i\)) |
| \(a_0\) |
\(a_0b_0\) का योग \([ (1) ]\) |
\(a_0b_1\) का योग \([ b ]\) |
\(A_0 = a_0b_0 + a_0b_1\) |
| \(a_1\) |
\(a_1b_0\) का योग \([ a ]\) |
\(a_1b_1\) का योग \([ ab ]\) |
\(A_1 = a_1b_0 + a_1b_1\) |
| B का कुल योग (\(B_j\)) |
\(B_0 = a_0b_0 + a_1b_0\) |
\(B_1 = a_0b_1 + a_1b_1\) |
महायोग (\(GT\)) |
चरण 5: मुख्य प्रभावों और अंतर्क्रिया के वर्गों का योग
- कारक A के वर्गों का योग (ASS):
$$ ASS = \frac{A_0^2 + A_1^2}{2r} - CF $$
- कारक B के वर्गों का योग (BSS):
$$ BSS = \frac{B_0^2 + B_1^2}{2r} - CF $$
- समग्र उपचार वर्गों का योग (Treatment SS - TrSS):
$$ TrSS = \frac{(a_0b_0)^2 + (a_1b_0)^2 + (a_0b_1)^2 + (a_1b_1)^2}{r} - CF $$
- अंतर्क्रिया वर्गों का योग (Interaction SS - ABSS):
$$ ABSS = TrSS - ASS - BSS $$
- प्रयोगात्मक त्रुटि वर्गों का योग (Error SS - ESS):
$$ ESS = TSS - RSS - TrSS = TSS - RSS - ASS - BSS - ABSS $$
6. येट्स की विधि (Yates's Technique for \(2^2\) Factorial)
एफ. येट्स (F. Yates) ने \(2^n\) कारकीय प्रयोगों में मुख्य प्रभावों और अंतर्क्रियाओं के वर्गों के योग की गणना को सरल बनाने के लिए एक विशेष व्यवस्थित विधि विकसित की:
| उपचार संयोजन |
उपज का कुल योग |
संक्रिया (1) |
संक्रिया (2) [प्रभाव कुल] |
प्रभाव का नाम |
वर्गों का योग (SS) |
| \((1)\) |
\(y_1\) |
\(y_1 + y_2\) |
\((y_1 + y_2) + (y_3 + y_4) = GT\) |
महायोग (GT) |
\(CF = \frac{GT^2}{4r}\) |
| \(a\) |
\(y_2\) |
\(y_3 + y_4\) |
\((y_2 - y_1) + (y_4 - y_3) = [A]\) |
कारक A |
\(ASS = \frac{[A]^2}{4r}\) |
| \(b\) |
\(y_3\) |
\(y_2 - y_1\) |
\((y_3 + y_4) - (y_1 + y_2) = [B]\) |
कारक B |
\(BSS = \frac{[B]^2}{4r}\) |
| \(ab\) |
\(y_4\) |
\(y_4 - y_3\) |
\((y_4 - y_3) - (y_2 - y_1) = [AB]\) |
अंतर्क्रिया AB |
\(ABSS = \frac{[AB]^2}{4r}\) |
येट्स के सूत्र संक्षेप में:
$$ [A] = (ab + a - b - (1)), \quad ASS = \frac{[A]^2}{4r} $$
$$ [B] = (ab - a + b - (1)), \quad BSS = \frac{[B]^2}{4r} $$
$$ [AB] = (ab - a - b + (1)), \quad ABSS = \frac{[AB]^2}{4r} $$
7. सार्थकता परीक्षण एवं क्रांतिक अंतर (Testing of Significance & CD)
परिकलित \(F\)-मान (\(F_{\text{cal}}\)) की तुलना स्वतंत्रता की कोटि \((1, 3(r-1))\) पर सारणीबद्ध \(F\)-मान (\(F_{\text{tab}}\)) से की जाती है:
- यदि \(F_{\text{cal}} > F_{\text{tab}}\), तो प्रभाव 5% या 1% स्तर पर सार्थक (Significant) है।
- यदि प्रभाव सार्थक है, तो दो उपचारों या स्तरों के माध्यों की तुलना के लिए क्रांतिक अंतर (Critical Difference - CD) की गणना की जाती है:
$$ SE_d = \sqrt{\frac{2 \times EMS}{2r}} = \sqrt{\frac{EMS}{r}} $$
$$ CD = SE_d \times t_{(0.05, \text{ त्रुटि d.f.})} $$
स्व-मूल्यांकन हेतु अभ्यास प्रश्न (Self-Assessment Questions)
भाग A: बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
-
\(2^2\) कारकीय प्रयोग (Factorial Experiment) में उपचार संयोजनों की कुल संख्या कितनी होती है?
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
उत्तर: (b) 4 — दो कारक, प्रत्येक के दो स्तर (\(2 \times 2 = 4\))।
-
\(2^2\) कारकीय प्रयोग में यदि 4 पुनरावृत्तियां (\(r = 4\)) हों, तो प्रयोगात्मक त्रुटि की स्वतंत्रता की कोटि (Error d.f.) होगी:
(a) 3
(b) 9
(c) 12
(d) 15
उत्तर: (b) 9 — सूत्र: \(3(r - 1) = 3(4 - 1) = 3 \times 3 = 9\)।
-
\(2^2\) कारकीय प्रयोग में मुख्य प्रभाव A की स्वतंत्रता की कोटि कितनी होती है?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर: (a) 1 — चूंकि स्तर \(a = 2\), अतः d.f. = \(a - 1 = 2 - 1 = 1\)।
भाग B: सत्य / असत्य कथन (True / False Statements)
- यदि दो कारक A और B दोनों 3 स्तरों पर हों, तो कुल संयोजनों की संख्या 9 होगी। — सत्य (True)
- \(2^2\) कारकीय प्रयोग में उपचार वर्गों का योग (TrSS) तीन घटकों (ASS, BSS और ABSS) में विभाजित होता है। — सत्य (True)
- दो-कारक प्रयोग में उच्चतम कोटि की अंतर्क्रिया दो-कारक अंतर्क्रिया होती है। — सत्य (True)
- RBD में \(2^2\) कारकीय प्रयोग के लिए प्रत्येक ब्लॉक को 2 प्रयोगात्मक इकाइयों में बांटा जाता है। — असत्य (False) (प्रत्येक ब्लॉक को 4 प्रयोगात्मक इकाइयों में बांटा जाता है।)
भाग C: वर्णनात्मक प्रश्न (Descriptive Questions)
- RBD में \(2^2\) कारकीय प्रयोग के लिए प्रसरण विश्लेषण तालिका (ANOVA Table) की रूपरेखा तैयार कीजिए।
उत्तर: ऊपर खंड 4 में दी गई तालिका के अनुसार d.f. क्रमशः पुनरावृत्ति \((r-1)\), A \((1)\), B \((1)\), AB \((1)\), त्रुटि \(3(r-1)\) और कुल \(4r-1\) होगी।
- येट्स की विधि द्वारा मुख्य प्रभावों और अंतर्क्रिया के वर्गों के योग की गणना कैसे की जाती है? सूत्र सहित समझाइए।
उत्तर: येट्स की सारणी में जोड़ और घटाव के दो चक्र पूरे करके प्रभाव कुल \([A], [B], [AB]\) प्राप्त किए जाते हैं और \(SS = \frac{\text{[प्रभाव कुल]}^2}{4r}\) द्वारा वर्गों के योग निकाले जाते हैं।
🔄 संस्करण 2.0 अद्यतन (Version 2.0 Update)
अंतिम अद्यतन (Last Updated): 7 सितंबर 2026
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