सार्थकता का परीक्षण (Test of significance) - मूल अवधारणाएं - शून्य परिकल्पना (null hypothesis) - वैकल्पिक परिकल्पना (alternative hypothesis) - सार्थकता का स्तर (level of significance) - मानक त्रुटि (Standard error) और इसका महत्व - परीक्षण में चरण (steps in testing)
उद्देश्य (Objective): छात्रों को किसी भी परिकल्पना (hypothesis) के परीक्षण की अवधारणा, परीक्षण में प्रयुक्त विभिन्न शब्दावली और विभिन्न प्रकार के परीक्षणों के अनुप्रयोग (application) से परिचित कराना।
एक समष्टि (population) से समान आकार के सभी संभावित नमूने (all possible samples) निकालकर हम सांख्यिकी (statistic) की गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, सभी नमूनों के लिए \( \bar{x} \) (प्रतिदर्श माध्य)। इसके आधार पर हम \( \bar{x} \) का आवृत्ति वितरण (frequency distribution) और प्रायिकता वितरण (probability distribution) बना सकते हैं। किसी सांख्यिकी के ऐसे प्रायिकता वितरण को उस सांख्यिकी का प्रतिचयन वितरण (sampling distribution) कहा जाता है। व्यवहार में, यादृच्छिक नमूनों के गुणों से सैद्धांतिक रूप से प्रतिचयन वितरण प्राप्त किया जा सकता है।
समष्टि वितरण के मामले की तरह, प्रतिचयन वितरण की विशेषता को माध्य (mean) और मानक विचलन (standard deviation) जैसे कुछ मापों द्वारा भी वर्णित किया जाता है। चूँकि एक सांख्यिकी एक यादृच्छिक चर (random variable) है, किसी सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण के माध्य को सांख्यिकी का अपेक्षित मान (expected value) कहा जाता है। सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण के मानक विचलन (SD) को सांख्यिकी की मानक त्रुटि (standard error - SE) कहा जाता है। मानक त्रुटि के वर्ग (square) को सांख्यिकी के प्रसरण (variance) के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि मानक विचलन इकाइयों के लिए है जबकि मानक त्रुटि सांख्यिकी के लिए है।
परिकल्पना एक कथन या धारणा (assumption) है जिसे अभी तक सिद्ध नहीं किया गया है।
जब कुछ शर्तों के तहत होने वाली धारणा या कथन को वैज्ञानिक परिकल्पना (scientific hypothesis) के रूप में तैयार किया जाता है, तो हम एक मानदंड (criteria) का निर्माण कर सकते हैं जिसके द्वारा एक वैज्ञानिक परिकल्पना को या तो अस्वीकार (rejected) कर दिया जाता है या अनंतिम रूप से स्वीकार (provisionally accepted) कर लिया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, वैज्ञानिक परिकल्पना का सांख्यिकीय भाषा में अनुवाद किया जाता है। यदि परिकल्पना सांख्यिकीय भाषा में दी गई है तो इसे सांख्यिकीय परिकल्पना (statistical hypothesis) कहा जाता है।
उदाहरण के लिए (For eg): धान की एक नई किस्म (paddy variety) की उपज 3500 किलोग्राम प्रति हेक्टेयर होगी - वैज्ञानिक परिकल्पना।
सांख्यिकीय भाषा में इसे इस प्रकार कहा जा सकता है कि यादृच्छिक चर (धान की उपज) 3500 किग्रा/हेक्टेयर के माध्य (mean) के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित (distributed normally) है।
जब एक परिकल्पना प्रायिकता वितरण के सभी मापदंडों (parameters) को निर्दिष्ट (specifies) करती है, तो इसे सरल परिकल्पना (simple hypothesis) के रूप में जाना जाता है। परिकल्पना एक प्रसामान्य वितरण के सभी मापदंडों, यानी \( \mu \) और \( \sigma \) को निर्दिष्ट करती है।
उदाहरण: यादृच्छिक चर \( x \), माध्य \( \mu=0 \) और \( SD=1 \) के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है, यह एक सरल परिकल्पना है। परिकल्पना एक प्रसामान्य वितरण के सभी मापदंडों (\( \mu \) और \( \sigma \)) को निर्दिष्ट करती है।
यदि परिकल्पना प्रायिकता वितरण के केवल कुछ मापदंडों को निर्दिष्ट करती है, तो इसे मिश्रित परिकल्पना (composite hypothesis) के रूप में जाना जाता है। उपरोक्त उदाहरण में यदि केवल \( \mu \) निर्दिष्ट है या केवल \( \sigma \) निर्दिष्ट है तो यह एक मिश्रित परिकल्पना है।
उदाहरण के लिए, परिकल्पना को इस रूप में रखा जा सकता है कि 'धान की किस्म A प्रति हेक्टेयर उतनी ही उपज देगी जितनी किस्म B' या 'धान की किस्मों A और B की औसत पैदावार के बीच कोई अंतर नहीं है'। ये परिकल्पनाएँ निश्चित शब्दों में हैं। इस प्रकार ये परिकल्पनाएँ काम करने के लिए एक आधार बनाती हैं। ऐसी कार्यशील परिकल्पना (working hypothesis) को शून्य परिकल्पना (null hypothesis) के रूप में जाना जाता है। इसे शून्य परिकल्पना इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह मूल परिकल्पना को शून्य (nullities) कर देती है, कि किस्म A, किस्म B से अधिक उपज देगी।
शून्य परिकल्पना को इस प्रकार कहा जाता है कि 'दो उपचारों के प्रभाव के बीच कोई अंतर नहीं है या दो विशेषताओं के बीच कोई संबंध नहीं है' (अर्थात) दोनों विशेषताएं स्वतंत्र (independent) हैं। शून्य परिकल्पना को \( H_0 \) द्वारा निरूपित किया जाता है।
उदाहरण (Eg): धान की दो किस्मों की पैदावार के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर (significant difference) नहीं है (या) वे प्रति इकाई क्षेत्र में समान उपज देती हैं। प्रतीकात्मक रूप से (Symbolically), \( H_0: \mu_1 = \mu_2 \)।
जब मूल परिकल्पना शून्य परिकल्पना के विकल्प के रूप में बताई जाती है तो उसे वैकल्पिक परिकल्पना (alternative hypothesis) के रूप में जाना जाता है। कोई भी परिकल्पना जो शून्य परिकल्पना की पूरक (complementary) होती है, वैकल्पिक परिकल्पना कहलाती है, जिसे आमतौर पर \( H_1 \) द्वारा दर्शाया जाता है।
उदाहरण: धान की दो किस्मों की पैदावार में महत्वपूर्ण अंतर है। प्रतीकात्मक रूप से,
यदि कथन यह है कि A, B की तुलना में काफी कम उपज देता है (या) A, B की तुलना में काफी अधिक उपज देता है। प्रतीकात्मक रूप से,
एक बार परिकल्पना तैयार हो जाने के बाद हमें उस पर निर्णय लेना होता है। एक सांख्यिकीय प्रक्रिया जिसके द्वारा हम सांख्यिकीय परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार करने का निर्णय लेते हैं, परिकल्पना का परीक्षण (testing of hypothesis) कहलाती है।
प्रतिदर्श डेटा (sample data) से, सांख्यिकी (statistic) की गणना की जाती है और सांख्यिकी के माध्यम से पैरामीटर (parameter) का अनुमान लगाया जाता है। पैरामीटर और सांख्यिकी के बीच के अंतर को प्रतिचयन त्रुटि (sampling error) के रूप में जाना जाता है।
प्रतिचयन त्रुटि के आधार पर प्रतिचयन वितरण प्राप्त किए जाते हैं। फिर देखे गए परिणामों (observed results) की तुलना प्रतिचयन वितरण के आधार पर अपेक्षित परिणामों (expected results) से की जाती है। यदि देखे गए और अपेक्षित परिणामों के बीच का अंतर सांख्यिकी की मानक त्रुटि (standard error) की निर्दिष्ट मात्रा से अधिक है, तो इसे निर्दिष्ट प्रायिकता स्तर (specified probability level) पर सार्थक (significant) कहा जाता है। इस स्तर तक की प्रक्रिया को सार्थकता का परीक्षण (test of significance) के रूप में जाना जाता है।
परीक्षण करके हम शून्य परिकल्पना \( H_0 \) को स्वीकार या अस्वीकार करके परिकल्पना पर निर्णय लेते हैं। इस प्रक्रिया में हम \( H_0 \) पर सही निर्णय ले सकते हैं या दो प्रकार की त्रुटियों (errors) में से कोई एक कर सकते हैं।
| स्थिति (Condition) | \( H_0 \) स्वीकार करें (Accept \( H_0 \)) | \( H_0 \) अस्वीकार करें (Reject \( H_0 \)) |
|---|---|---|
| \( H_0 \) सत्य है (\( H_0 \) is true) | सही निर्णय (Correct Decision) | टाइप I त्रुटि (Type I error) |
| \( H_0 \) असत्य है (\( H_0 \) is false) | टाइप II त्रुटि (Type II error) | सही निर्णय (Correct Decision) |
टाइप I और टाइप II त्रुटियों के बीच संबंध यह है कि यदि एक बढ़ता है तो दूसरा घटता है। टाइप I त्रुटि की प्रायिकता को \( \alpha \) द्वारा दर्शाया जाता है। टाइप II त्रुटि की प्रायिकता को \( \beta \) द्वारा दर्शाया जाता है। शून्य परिकल्पना के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने के सही निर्णय को परीक्षण की शक्ति (power of the test) के रूप में जाना जाता है। शक्ति की प्रायिकता \( 1-\beta \) द्वारा दी जाती है।
सांख्यिकीय परिकल्पना के परीक्षण में सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण पर एक क्षेत्र (region) का चुनाव शामिल होता है। यदि सांख्यिकी इस क्षेत्र में आती है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है: अन्यथा इसे स्वीकार कर लिया जाता है। इस क्षेत्र को क्रांतिक क्षेत्र (critical region) या अस्वीकृति का क्षेत्र (region of rejection) कहा जाता है।
मान लीजिए कि शून्य परिकल्पना \( H_0: \mu_1 = \mu_2 \) है और इसका विकल्प \( H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \) है। मान लीजिए \( H_0 \) सत्य है। प्रतिदर्श डेटा के आधार पर यह देखा जा सकता है कि सांख्यिकी \( Z \) प्रसामान्य वितरण (normal distribution) का अनुसरण करता है। हम जानते हैं कि बार-बार लिए गए नमूनों से सांख्यिकी के 95% मान \( \pm 1.96 \) गुना SE की सीमा में आएंगे।
सीमा रेखा का मान (border line value) \( \pm 1.96 \) Z का क्रांतिक मान (critical value) या सारणीबद्ध मान (tabular value) है। क्रांतिक मानों से परे का क्षेत्र (छायांकित क्षेत्र - shaded area) क्रांतिक क्षेत्र (critical region) के रूप में जाना जाता है। शेष क्षेत्र स्वीकृति का क्षेत्र (region of acceptance) के रूप में जाना जाता है। यदि सांख्यिकी क्रांतिक क्षेत्र में आती है तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं और, यदि यह स्वीकृति के क्षेत्र में आता है तो हम शून्य परिकल्पना को स्वीकार करते हैं।
दूसरे शब्दों में यदि परीक्षण सांख्यिकी (test statistic जैसे Z, t, \(\chi^2\) आदि) का गणना किया गया मान (calculated value) परिमाण (magnitude) में क्रांतिक मान से अधिक है, तो इसे सार्थक (significant) कहा जाता है और हम \( H_0 \) को अस्वीकार करते हैं। क्रांतिक मान रेडीमेड तालिकाओं (readymade tables) के रूप में दिए गए हैं। तालिका मान (table value) सार्थकता के स्तर (level of significance) और स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) पर निर्भर करता है।
उदाहरण: \( Z_{cal} < Z_{tab} \) - हम \( H_0 \) को स्वीकार करते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।
Z, t और \(\chi^2\) जैसे सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण को परीक्षण सांख्यिकी (test statistic) के रूप में जाना जाता है। मात्रात्मक डेटा (quantitative data) के मामले में परीक्षण सांख्यिकी का चुनाव चर की प्रकृति, शामिल सांख्यिकी (माध्य या प्रसरण) और नमूना आकार (बड़ा या छोटा) पर निर्भर करता है।
सांख्यिकी के क्रांतिक क्षेत्र में आने की प्रायिकता \( \alpha \) है। यह \( \alpha \) कुछ और नहीं बल्कि टाइप I त्रुटि करने की प्रायिकता है। तकनीकी रूप से टाइप I त्रुटि करने की प्रायिकता को सार्थकता का स्तर (level of Significance) कहा जाता है।
वैकल्पिक परिकल्पना की प्रकृति क्रांतिक क्षेत्र की स्थिति निर्धारित करती है। उदाहरण के लिए, यदि \( H_1 \), \( \mu_1 \neq \mu_2 \) है, तो यह दिशा नहीं दिखाता है और इसलिए क्रांतिक क्षेत्र प्रतिचयन वितरण के दोनों सिरों पर पड़ता है (दो-तरफा परीक्षण - Two tailed test)। यदि \( H_1 \), \( \mu_1 < \mu_2 \) या \( \mu_1 > \mu_2 \) है तो दिशा ज्ञात होती है (एकतरफा परीक्षण - One tailed test)।
स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) उन अवलोकनों की संख्या है जो डेटा पर कुछ प्रतिबंध (restriction) लगाए जाने के बाद भिन्न होने (vary) के लिए स्वतंत्र हैं। यदि प्रतिदर्श में n अवलोकन हैं, तो मूल अवलोकन पर लगाए गए प्रत्येक प्रतिबंध के लिए स्वतंत्रता की कोटि की संख्या एक से कम हो जाती है। इसे \( df \) या \( \nu \) द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रतिदर्श आकार \( n \) 30 से अधिक है (\( n \geq 30 \)) तो इसे बड़ा प्रतिदर्श (large sample) के रूप में जाना जाता है। बड़े नमूनों के लिए सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण प्रसामान्य (normal) हैं (Z परीक्षण)। बड़े नमूने के लिए सांख्यिकी के प्रतिचयन वितरण के अध्ययन को बड़े नमूना सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।
यदि प्रतिदर्श का आकार \( n \), 30 से कम है (\( n < 30 \)), तो इसे छोटा प्रतिदर्श (small sample) के रूप में जाना जाता है। छोटे नमूनों के लिए प्रतिचयन वितरण t, F और \(\chi^2\) वितरण हैं। यह ध्यान दिया जा सकता है कि छोटे नमूने परीक्षणों का उपयोग बड़े नमूनों के मामले में भी किया जा सकता है।
सार्थकता के परीक्षण के सिद्धांत में विभिन्न परीक्षण सांख्यिकी शामिल हैं।
बड़े नमूने के परीक्षण (Large sample test) हैं:
विशेषताओं (attributes) के लिए दो प्रकार के परीक्षण हैं:
1. एकल अनुपात के लिए परीक्षण (Test for single proportion)
बड़े आकार \( n \) के नमूने में, हम यह जांच कर सकते हैं कि क्या नमूना एक निर्दिष्ट अनुपात (specified proportion) \( P=P_0 \) वाले समष्टि से आया होगा।
शून्य परिकल्पना (\( H_0 \)): \( P = P_0 \)
वैकल्पिक परिकल्पना (\( H_1 \)): \( P \neq P_0 \) (द्वि-पक्षीय - Two Sided) या \( P > P_0 \) (एकतरफा - दायीं ओर) या \( P < P_0 \) (एकतरफा - बायीं ओर)
परीक्षण सांख्यिकी (Test statistic):
यह \( \mu=0 \) और \( \sigma^2=1 \) के साथ एक मानक प्रसामान्य वितरण का अनुसरण करता है।
सार्थकता का स्तर (Level of Significance): 5% या 1%
अपेक्षित मान या क्रांतिक मान (Expected value or critical value \( Z_e \)):
द्वि-पक्षीय परीक्षण (Two tailed test) के लिए: 5% स्तर पर 1.96 और 1% स्तर पर 2.58
एकतरफा परीक्षण (One tailed test) के लिए: 5% स्तर पर 1.65 और 1% स्तर पर 2.33
निष्कर्ष (Inference): यदि परीक्षण सांख्यिकी का देखा गया मान \( |Z_{cal}| \) तालिका मान \( Z_e \) से अधिक है तो हम शून्य परिकल्पना \( H_0 \) को अस्वीकार करते हैं अन्यथा इसे स्वीकार करते हैं।
2. दो अनुपातों की समानता के लिए परीक्षण (Test for equality of two proportions)
बड़े आकार \( n_1 \) और \( n_2 \) के दो प्रतिदर्श डेटा दिए गए हैं। हम यह जांच कर सकते हैं कि क्या दोनों नमूने समान अनुपात वाले समष्टि से आए हैं।
शून्य परिकल्पना (\( H_0 \)): \( P_1 = P_2 \)
वैकल्पिक परिकल्पना (\( H_1 \)): \( P_1 \neq P_2 \) या \( P_1 > P_2 \) या \( P_1 < P_2 \)
परीक्षण सांख्यिकी (Test statistic):
विषम समष्टि (heterogeneous population) के लिए:
समरूप समष्टि (homogeneous population) के लिए (जहाँ \( P \) संयुक्त या पूलित अनुमान है):
चर के लिए प्रतिचयन में, परीक्षण इस प्रकार हैं:
1. एकल माध्य के लिए परीक्षण (Test for single Mean)
बड़े आकार \( n \) के नमूने में, हम जांच करते हैं कि क्या नमूना निर्दिष्ट माध्य (specified mean) \( \mu_0 \) वाले समष्टि से आया होगा।
शून्य परिकल्पना (\( H_0 \)): \( \mu = \mu_0 \)
वैकल्पिक परिकल्पना (\( H_1 \)): \( \mu \neq \mu_0 \) या \( \mu > \mu_0 \) या \( \mu < \mu_0 \)
परीक्षण सांख्यिकी (Test statistic):
जब समष्टि प्रसरण (population variance) ज्ञात नहीं होता है, तो इसे इसके अनुमान (\( s \)) से बदला जा सकता है:
2. दो माध्य की समानता के लिए परीक्षण (Test for equality of two Means)
बड़े आकार \( n_1 \) और \( n_2 \) के दो प्रतिदर्श डेटा दिए गए हैं। हम यह जांच कर सकते हैं कि क्या दोनों नमूने समान माध्य वाले समष्टि से आते हैं।
शून्य परिकल्पना (\( H_0 \)): \( \mu_1 = \mu_2 \)
वैकल्पिक परिकल्पना (\( H_1 \)): \( \mu_1 \neq \mu_2 \) या \( \mu_1 > \mu_2 \) या \( \mu_1 < \mu_2 \)
परीक्षण सांख्यिकी (Test statistic):
जब समष्टि प्रसरण (variances) ज्ञात और असमान (unequal) होते हैं:
जब \( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2 \):
प्रसरणों की समानता का परीक्षण \( F \) परीक्षण (F test) का उपयोग करके किया जा सकता है।
जब समष्टि प्रसरण अज्ञात (unknown) होते हैं, तो उन्हें उनके अनुमानों \( s_1^2 \) और \( s_2^2 \) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
एक परिकल्पना को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
(a) सरल (Simple)
(b) मिश्रित (Composite)
(c) शून्य (Null)
(d) उपरोक्त सभी (All the above)
उत्तर (Ans): उपरोक्त सभी (All the above)
क्रांतिक क्षेत्र (critical region) का क्षेत्रफल किस पर निर्भर करता है:
(a) टाइप I त्रुटि का आकार (Size of type I error)
(b) टाइप II त्रुटि का आकार
(c) सांख्यिकी का मूल्य
(d) अवलोकनों की संख्या
उत्तर (Ans): टाइप I त्रुटि का आकार (Size of type I error)