When $100\,\text{V}$ dc is applied across a solenoid, a current of $1.0\,\text{A}$ flows in it. When $100\,\text{V}$ ac is applied across the same solenoid, the current drops to $0.5\,\text{A}$. If the frequency of the ac source is $50\,\text{Hz}$, the impedance and inductance of the solenoid are:
जब किसी परिनालिका पर $100\,\text{V}$ dc लगाया जाता है, तो इसमें $1.0\,\text{A}$ की धारा प्रवाहित होती है। जब उसी परिनालिका पर $100\,\text{V}$ ac लगाया जाता है, तो धारा घटकर $0.5\,\text{A}$ हो जाती है। यदि ac स्रोत की आवृत्ति $50\,\text{Hz}$ है, तो परिनालिका की प्रतिबाधा और प्रेरकत्व हैं:
- With DC applied ($V = 100\,\text{V}, I_{\text{dc}} = 1.0\,\text{A}$):
In DC, an inductor offers zero inductive reactance, so only the ohmic resistance $R$ limits the current:
$$R = \frac{V_{\text{dc}}}{I_{\text{dc}}} = \frac{100}{1.0} = 100\,\Omega$$ - With AC applied ($V = 100\,\text{V}, I_{\text{ac}} = 0.5\,\text{A}, f = 50\,\text{Hz}$):
The total impedance $Z$ is:
$$Z = \frac{V_{\text{ac}}}{I_{\text{ac}}} = \frac{100}{0.5} = 200\,\Omega$$ - Calculating the inductive reactance $X_L$:
$$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \implies X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{200^2 - 100^2} = \sqrt{40000 - 10000} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2\,\Omega$$ - Inductance $L$:
$$X_L = 2\pi f L \implies L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.1416 \times 50} = \frac{173.2}{314.16} \approx 0.551\,\text{H} \approx 0.55\,\text{H}$$
Thus, $Z = 200\,\Omega$ and $L = 0.55\,\text{H}$.
Hence, option 1 is the correct answer.
- DC स्रोत जोड़ने पर ($V = 100\,\text{V}, I_{\text{dc}} = 1.0\,\text{A}$):
DC परिपथ में प्रेरकत्व का कोई प्रतिघात नहीं होता, केवल प्रतिरोध $R$ प्रभावी होता है:
$$R = \frac{V_{\text{dc}}}{I_{\text{dc}}} = \frac{100}{1.0} = 100\,\Omega$$ - AC स्रोत जोड़ने पर ($V = 100\,\text{V}, I_{\text{ac}} = 0.5\,\text{A}, f = 50\,\text{Hz}$):
कुल प्रतिबाधा $Z$:
$$Z = \frac{V_{\text{ac}}}{I_{\text{ac}}} = \frac{100}{0.5} = 200\,\Omega$$ - प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना:
$$X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{200^2 - 100^2} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173.2\,\Omega$$ - प्रेरकत्व $L$:
$$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.1416 \times 50} \approx 0.55\,\text{H}$$
अतः प्रतिबाधा $Z = 200\,\Omega$ तथा प्रेरकत्व $L = 0.55\,\text{H}$ है।
अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
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