A metallic wire of uniform area of cross-section has a resistance $R$, resistivity $\rho$ and power rating $P$ at $V$ volts. The wire is uniformly stretched to reduce the radius to half the original radius. The values of resistance, resistivity and power rating at $V$ volts are now denoted by $R'$, $\rho'$ and $P'$ respectively. The corresponding values are correctly related as ________________.
एकसमान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के एक धातु के तार का प्रतिरोध $R$, प्रतिरोधकता $\rho$ और $V$ वोल्ट पर शक्ति रेटिंग $P$ है। तार को एकसमान रूप से खींचकर उसकी त्रिज्या को मूल त्रिज्या का आधा कर दिया जाता है। $V$ वोल्ट पर प्रतिरोध, प्रतिरोधकता और शक्ति रेटिंग के मान अब क्रमशः $R'$, $\rho'$ और $P'$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। इनके मध्य सही संबंध ________ है।
When a wire is stretched:
- Resistivity $\rho$ is an intrinsic property of the material and depends only on temperature and nature of material, not on dimensions. Hence $\rho' = \rho$.
- The radius becomes $r' = r/2$, so the cross-sectional area becomes:
$$A' = \pi (r')^2 = \pi (r/2)^2 = \frac{A}{4}$$
Since volume is conserved ($V = A L = A' L'$):
$$L' = L \frac{A}{A'} = 4L$$ - The new resistance $R'$ is:
$$R' = \rho \frac{L'}{A'} = \rho \frac{4L}{A/4} = 16 \left(\rho \frac{L}{A}\right) = 16R$$ - The power dissipated at constant potential difference $V$ is $P = \frac{V^2}{R}$:
$$P' = \frac{V^2}{R'} = \frac{V^2}{16R} = \frac{1}{16} P$$
Thus: $\rho' = \rho,\; R' = 16R,\; P' = \frac{1}{16}P$.
Hence, option 3 is the correct answer.
तार को खींचने पर:
- प्रतिरोधकता $\rho$ पदार्थ का अंतर्निहित गुण है, अतः आकार बदलने पर यह अपरिवर्तित रहती है: $\rho' = \rho$।
- त्रिज्या आधी ($r' = r/2$) होने पर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A' = A/4$ हो जाता है। आयतन संरक्षण से नई लंबाई $L' = 4L$ हो जाती है।
- नया प्रतिरोध:
$$R' = \rho \frac{L'}{A'} = \rho \frac{4L}{A/4} = 16R$$ - स्थिर वोल्टेज $V$ पर शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ होने के कारण:
$$P' = \frac{V^2}{16R} = \frac{1}{16}P$$
अतः $\rho' = \rho,\; R' = 16R,\; P' = \frac{1}{16}P$।
अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।
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