The value of the constant $a, b$ and $c$ which guarantee that the graph of $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ will have a relative maximum at $(-3, 18)$ and a relative minimum at $(1, -14)$ is given by:
अचर $a, b$ और $c$ के मान जो यह सुनिश्चित करते हैं कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के आलेख का $(-3, 18)$ पर एक स्थानीय उच्चिष्ठ (relative maximum) और $(1, -14)$ पर एक स्थानीय निम्निष्ठ (relative minimum) होगा, दिए गए हैं:
EXPLANATION
Applications of Derivatives: Tangents, Normals, Maxima-Minima, Mean Value Theorems and Indeterminate Forms
Calculations:
- First derivative: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
- Since relative extrema occur at critical points $x = -3$ and $x = 1$, these are the roots of $f'(x) = 0$:
- Sum of roots: $(-3) + 1 = -\frac{2a}{3} \implies -2 = -\frac{2a}{3} \implies a = 3$
- Product of roots: $(-3)(1) = \frac{b}{3} \implies -3 = \frac{b}{3} \implies b = -9$
- To find $c$, use the minimum point $(1, -14)$:
$$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + c = -14$$
$$1 + 3 - 9 + c = -14 \implies -5 + c = -14 \implies c = -9$$ - Verification at $(-3, 18)$:
$$f(-3) = (-27) + 3(9) - 9(-3) - 9 = -27 + 27 + 27 - 9 = 18$$
Therefore, $a = 3, b = -9, c = -9$. Option 4 is correct.
गणना:
- प्रथम अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
- चरम बिंदु $x = -3$ और $x = 1$ पर $f'(x) = 0$ के मूल हैं:
- मूलों का योग: $-3 + 1 = -\frac{2a}{3} \implies -2 = -\frac{2a}{3} \implies a = 3$
- मूलों का गुणनफल: $(-3)(1) = \frac{b}{3} \implies b = -9$
- निम्निष्ठ बिंदु $(1, -14)$ से $c$ का मान:
$$f(1) = 1 + 3 - 9 + c = -14 \implies c = -9$$
अतः $a = 3, b = -9, c = -9$ (विकल्प 4) सही उत्तर है।
Explanation not matching this question?
क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
Report
Want to practice this paper in exam conditions?
क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं?
Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers.
5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।
Start Practice Mode →
प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →