Let $r$ be any real number and $(a_n) = \frac{1}{n^r}$ be sequence of real number, then:
मान लीजिए $r$ कोई वास्तविक संख्या है और $(a_n) = \frac{1}{n^r}$ वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है, तो:
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Convergence of the sequence $(a_n) = \frac{1}{n^r}$:
If $r \gt 0$: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^r} = 0$, so $(a_n)$ converges to 0.
If $r = 0$: $a_n = \frac{1}{n^0} = 1$ for all $n$, so $(a_n)$ is a constant sequence converging to 1.
If $r \lt 0$: Let $r = -k$ where $k \gt 0$. Then $a_n = n^k \to \infty$ as $n \to \infty$, which diverges.
Therefore, $(a_n)$ converges for all $r \ge 0$. Hence Option 3 is correct.
अनुक्रम $(a_n) = \frac{1}{n^r}$ का अभिसरण:
जब $r \gt 0$: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^r} = 0$ (अभिसारी)।
जब $r = 0$: $a_n = 1$ प्रत्येक पद के लिए, अतः सीमा 1 पर अभिसारी है।
जब $r \lt 0$: $a_n = n^{|r|} \to \infty$ (अपसारी)।
अतः अनुक्रम $(a_n)$ सभी $r \ge 0$ के लिए अभिसारी है। विकल्प 3 सही उत्तर है।
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