Let {n=1}^∞ an is absolutely convergent series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an एक निरपेक्ष अभिसारी श्रेणी है, तो:

{n=1}^∞ an is convergent / {n=1}^∞ an अभिसारी है

{n=1}^∞ an is conditionally convergent / {n=1}^∞ an सप्रतिबंध अभिसारी है

{n=1}^∞ an is not convergent / {n=1}^∞ an अभिसारी नहीं है

{n=1}^∞ an is oscillatory / {n=1}^∞ an दोलनी है

Let {n=1}^∞ an is absolutely convergent series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an एक निरपेक्ष अभिसारी श्रेणी है, तो:

(1) {n=1}^∞ an is convergent / {n=1}^∞ an अभिसारी है Explanation (English): A foundational theorem of mathematical analysis states: Absolute convergence implies convergence. That is, if the series of absolute values {n=1}^∞ |an| converges, then the series {n=1}^∞ an must necessarily converge. Proof follows from Cauchy criterion: |{k=m}^n ak| ≤ {k=m}^n |ak| < . Therefore, Option 1 is correct. व्याख्या (हिंदी): गणितीय विश्लेषण का मूलभूत प्रमेय: निरपेक्ष अभिसरण अभिसरण को सुनिश्चित करता है (Absolute convergence implies convergence)। यदि {n=1}^∞ |an| अभिसारित होती है, तो मूल श्रेणी {n=1}^∞ an भी अनिवार्य रूप से अभिसारी होती है। अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

Let {n=1}^∞ an is absolutely convergent series, then:

Q.80

ICAR AIEEA PG 2024 - Statistical Sciences

MCQ (Single Correct)

Let $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is absolutely convergent series, then:

मान लीजिए $\sum_{n=1}^\infty a_n$ एक निरपेक्ष अभिसारी श्रेणी है, तो:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी है Correct $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is conditionally convergent $\sum_{n=1}^\infty a_n$ सप्रतिबंध अभिसारी है $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is not convergent $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी नहीं है $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is oscillatory $\sum_{n=1}^\infty a_n$ दोलनी है

A foundational theorem of mathematical analysis states: Absolute convergence implies convergence.

That is, if the series of absolute values $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converges, then the series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ must necessarily converge.
Proof follows from Cauchy criterion: $|\sum_{k=m}^n a_k| \le \sum_{k=m}^n |a_k| \lt \epsilon$.

Therefore, Option 1 is correct.

गणितीय विश्लेषण का मूलभूत प्रमेय: निरपेक्ष अभिसरण अभिसरण को सुनिश्चित करता है (Absolute convergence implies convergence)।

यदि $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ अभिसारित होती है, तो मूल श्रेणी $\sum_{n=1}^\infty a_n$ भी अनिवार्य रूप से अभिसारी होती है।

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

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