Let $A$ be $5 \times 5$ skew-symmetric matrix, then the determinant of $A$ is:
मान लीजिए $A$ एक $5 \times 5$ विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है, तो $A$ का सारणिक (determinant) है:
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Fundamental theorem of skew-symmetric matrices:
By definition of skew-symmetric matrix: $A^T = -A$.
Taking the determinant of both sides:
Since $\det(A^T) = \det(A)$ and for an $n \times n$ matrix $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$:
$$\det(A) = (-1)^n \det(A)$$Here, the order $n = 5$ is an odd integer:
$$\det(A) = (-1)^5 \det(A) = -\det(A)$$ $$2\det(A) = 0 \implies \det(A) = 0$$Therefore, the determinant of every odd-order skew-symmetric matrix is identically 0. Option 1 is correct.
विषम-सममित आव्यूह (Skew-symmetric matrix) का गुणधर्म:
परिभाषा से: $A^T = -A$
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
यहाँ आव्यूह की कोटि $n = 5$ एक विषम संख्या (odd integer) है:
$$\det(A) = (-1)^5 \det(A) = -\det(A) \implies 2\det(A) = 0 \implies \det(A) = 0$$अतः किसी भी विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक सदैव शून्य (0) होता है। विकल्प 1 सही है।
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