Let $A$ be an $n \times n$ matrix of real number such that $A^2 = A$, then the Eigen values of $A$ are:
मान लीजिए $A$ वास्तविक संख्याओं का एक $n \times n$ आव्यूह है जिससे $A^2 = A$ हो, तो $A$ के आइगेन मान (Eigen values) हैं:
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
A matrix satisfying $A^2 = A$ is called an idempotent matrix.
Let $\lambda$ be an eigenvalue of $A$ with corresponding non-zero eigenvector $v$:
$$Av = \lambda v$$Multiplying by $A$:
$$A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda(Av) = \lambda(\lambda v) = \lambda^2 v$$Since $A^2 = A$:
$$Av = \lambda^2 v \implies \lambda v = \lambda^2 v$$ $$(\lambda^2 - \lambda) v = 0$$Because $v \ne 0$:
$$\lambda^2 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 1) = 0 \implies \lambda = 0 \text{ or } \lambda = 1$$Therefore, the only possible eigenvalues of an idempotent matrix are 0 and 1 (Option 1).
आव्यूह $A^2 = A$ को वर्गसम आव्यूह (Idempotent matrix) कहा जाता है।
यदि $\lambda$ इसका आइगेन मान और $v$ आइगेन सदिश है:
$$Av = \lambda v \implies A^2 v = \lambda^2 v$$चूंकि $A^2 = A$ है:
$$\lambda v = \lambda^2 v \implies \lambda^2 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 1) = 0$$इससे $\lambda = 0$ अथवा $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः वर्गसम आव्यूह के आइगेन मान केवल 0 और 1 हो सकते हैं। विकल्प 1 सही है।
Explanation not matching this question?
क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
Report
Want to practice this paper in exam conditions?
क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं?
Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers.
5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।
Start Practice Mode →
प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →