The centre of gravity of a right circular cone of diameter ($d$) and height ($h$) lies at a distance of ______ from the base measured along the vertical radius.
व्यास ($d$) और ऊँचाई ($h$) वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु (right circular cone) का गुरुत्व केंद्र आधार से ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश कितनी दूरी पर स्थित होता है?
EXPLANATION
Engineering Mechanics & Strength
Detailed Derivation of Centre of Gravity of a Solid Cone:
- Integration along axis:
Consider a solid right circular cone of base radius $r$ and total height $h$. Take an elemental disk of thickness $dy$ at distance $y$ from the apex:
$$\text{Radius of disk } x = \frac{r}{h} y, \quad dV = \pi x^2 dy = \pi \left(\frac{r}{h}\right)^2 y^2 dy$$
$$\bar{y}_{\text{apex}} = \frac{\int_0^h y dV}{\int_0^h dV} = \frac{\pi \frac{r^2}{h^2} \int_0^h y^3 dy}{\frac{1}{3} \pi r^2 h} = \frac{\frac{h^4}{4}}{\frac{h^3}{3}} = \frac{3}{4} h$$ - Distance from the Base:
$$\bar{y}_{\text{base}} = h - \bar{y}_{\text{apex}} = h - \frac{3}{4} h = \frac{h}{4}$$
Hence, Option 3 ($h/4$) is the correct answer.
ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु के गुरुत्व केंद्र की व्युत्पत्ति:
- शीर्ष से दूरी:
ऊँचाई $h$ वाले ठोस शंकु के लिए शीर्ष (apex) से गुरुत्व केंद्र की दूरी समाकलन द्वारा $\frac{3}{4} h$ प्राप्त होती है। - आधार (Base) से दूरी:
$$\bar{y}_{\text{base}} = h - \frac{3}{4} h = \frac{h}{4}$$
अतः ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु का गुरुत्व केंद्र उसके आधार से $\frac{h}{4}$ की ऊँचाई पर स्थित होता है। अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।
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