The moment of inertia of a triangular section of base ($b$) and height ($h$) about an axis passing through its vertex and parallel to the base is ______ times as that passing through its centre of gravity and parallel to the base.
आधार ($b$) और ऊँचाई ($h$) वाले एक त्रिभुजाकार परिच्छेद का उसके शीर्ष (vertex) से गुजरने वाले और आधार के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण, उसके गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाले और आधार के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का ______ गुना होता है।
EXPLANATION
Engineering Mechanics & Strength
Detailed Step-by-Step Derivation:
- Centroidal Moment of Inertia ($I_G$):
For a triangle of base $b$ and height $h$, about an axis through its centre of gravity parallel to base:
$$I_G = \frac{b h^3}{36}$$ - Moment of Inertia About Vertex Axis ($I_{\text{vertex}}$):
The distance from the centroid to the vertex is $d = \frac{2}{3} h$. Using the parallel axis theorem:
$$I_{\text{vertex}} = I_G + A d^2 = \frac{b h^3}{36} + \left(\frac{1}{2} b h\right) \left(\frac{2}{3} h\right)^2$$
$$I_{\text{vertex}} = \frac{b h^3}{36} + \frac{b h}{2} \left(\frac{4 h^2}{9}\right) = \frac{b h^3}{36} + \frac{2 b h^3}{9} = \frac{b h^3 + 8 b h^3}{36} = \frac{9 b h^3}{36} = \frac{b h^3}{4}$$ - Ratio:
$$\frac{I_{\text{vertex}}}{I_G} = \frac{\frac{b h^3}{4}}{\frac{b h^3}{36}} = \frac{36}{4} = 9$$
Therefore, it is 9 times as that passing through the centre of gravity. Hence, Option 2 is correct.
चरणबद्ध गणितीय व्युत्पत्ति:
- गुरुत्व केंद्र अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ($I_G$):
आधार $b$ तथा ऊँचाई $h$ वाले त्रिभुज का उसके CG से गुजरने वाले आधार के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$$I_G = \frac{b h^3}{36}$$ - शीर्ष अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ($I_{\text{vertex}}$):
गुरुत्व केंद्र से शीर्ष की दूरी $d = \frac{2}{3} h$ होती है। समानांतर अक्ष प्रमेय से:
$$I_{\text{vertex}} = I_G + A d^2 = \frac{b h^3}{36} + \left(\frac{1}{2} b h\right) \left(\frac{2}{3} h\right)^2 = \frac{b h^3}{36} + \frac{2 b h^3}{9} = \frac{9 b h^3}{36} = \frac{b h^3}{4}$$ - दोनों का अनुपात:
$$\text{अनुपात} = \frac{I_{\text{vertex}}}{I_G} = \frac{b h^3 / 4}{b h^3 / 36} = \frac{36}{4} = 9$$
अतः यह मान गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के जड़त्व आघूर्ण का 9 गुना होता है। अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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