आव्यूह, सारणिक एवं रैखिक बीजगणित Practice Questions (Q6-10) - Statistical Sciences

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let A and B be two matrices and gamma be any scalar, then :

मान लीजिए A और B दो आव्यूह हैं तथा gamma कोई अदिश (Scalar) है, तो :

(A^T)^T = A^T (A^T)^T = A^T (AB)^T = A^T * B ^T = A^T * B (r*A)^T = r^T * A ^T = r^T * A (A + B)^T = A^T + B^T (A + B)^T = A^T + B^T

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let A and B be two invertible matrices, then which of the following is true ?

मान लीजिए A और B दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible matrices) हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

A^-1 may not invertible A^-1 व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता (A^-1)^-1 = A (A^-1)^-1 = A (AB)^-1 = A^-1 * B ^-1 = A^-1 * B (A^-1)^-1 = A^-1 (A^-1)^-1 = A^-1

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let A = [[1, 2, 0, -1], [2, 6, -3, -3], [3, 10, -6, -5]], then rank of matrix A is :

मान लीजिए A = [[1, 2, 0, -1], [2, 6, -3, -3], [3, 10, -6, -5]], तो आव्यूह A की जाति (Rank) क्या होगी?

0 0 2 2 4 4 3 3

Row reduction of matrix A:
Given matrix:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -3 \\ 3 & 10 & -6 & -5 \end{bmatrix}$$

Apply elementary row operations:

$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$$R_2 = [2-2, 6-4, -3-0, -3 - (-2)] = [0, 2, -3, -1]$$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$$R_3 = [3-3, 10-6, -6-0, -5 - (-3)] = [0, 4, -6, -2]$$
Now observe $R_3 = 2 R_2$. Apply $R_3 \to R_3 - 2R_2$:
$$R_3 = [0-0, 4-4, -6 - (-6), -2 - (-2)] = [0, 0, 0, 0]$$
The row echelon form is:
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
There are exactly 2 non-zero linearly independent rows. Thus, $\text{rank}(A) = 2$.
Incorrect: Rank 0 applies only to the null matrix.
Correct: Rank is exactly 2.
Incorrect: Rank cannot exceed the row count (3).
Incorrect: Row 3 is a linear combination of Row 1 and Row 2, so rank cannot be 3.

प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं द्वारा आव्यूह जाति (Rank) की गणना:
दिया गया आव्यूह:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -3 \\ 3 & 10 & -6 & -5 \end{bmatrix}$$

पंक्ति संक्रियाएं करने पर:

$R_2 \to R_2 - 2R_1 \implies R_2 = [0, 2, -3, -1]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1 \implies R_3 = [0, 4, -6, -2]$
$R_3 \to R_3 - 2R_2 \implies R_3 = [0, 0, 0, 0]$
इशेलॉन रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या ठीक 2 है।

अतः आव्यूह A की जाति $\text{Rank}(A) = 2$ है।

गलत: केवल शून्य आव्यूह की रैंक 0 होती है।
सही: अशून्य पंक्तियों की संख्या 2 है, अतः जाति 2 है।
गलत: पंक्तियों की कुल संख्या 3 है, अतः रैंक 4 नहीं हो सकती।
गलत: तीसरी पंक्ति अन्य पंक्तियों पर आश्रित है, अतः रैंक 3 नहीं हो सकती।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let W1 and W2 are two subspaces of a vector space V over the field F, then :

मान लीजिए W1 और W2 क्षेत्र F पर किसी सदिश समष्टि V की दो उप-समष्टियाँ (Subspaces) हैं, तो :

W1 + W2 not subspace of V W1 + W2 V की उप-समष्टि नहीं है W1 U W2 is always subspace of V W1 U W2 सदैव V की उप-समष्टि होती है W1 cap W2 is always subspace of V W1 cap W2 सदैव V की उप-समष्टि होती है W1 and W2 are always orthogonal W1 और W2 सदैव लंबकोणीय होते हैं

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], then its reduced echelon form is :

मान लीजिए B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], तो इसका समानीकृत इशेलॉन रूप (Reduced echelon form) क्या होगा?

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]] [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]] [[5, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[5, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, -9, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, -9, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Row reduction of matrix B to RREF:
Given upper triangular matrix:

$$B = \begin{bmatrix} 5 & -9 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$$

Determinant is $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$. Because $\det(B) \ne 0$, matrix $B$ is non-singular of full rank 3.
By Gauss-Jordan elimination:

Divide each row by its pivot: leading entries become 1.
Eliminate entries above pivots: all off-diagonal entries become 0.
Every non-singular square matrix has a unique Reduced Row Echelon Form equal to the identity matrix $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
Correct: Identity matrix $I_3$.
Incorrect: Permuted identity matrix.
Incorrect: Leading entry in row 1 must be 1, not 5.
Incorrect: Off-diagonal elements above pivots must be zero in reduced echelon form.

समानीकृत इशेलॉन रूप (RREF) की गणना:
दिया गया ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह:

$$B = \begin{bmatrix} 5 & -9 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$$

सारणिक $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$ होने के कारण यह एक व्युत्क्रमणीय (Non-singular) आव्यूह है जिसकी जाति 3 है।
गॉस-जॉर्डन विलोपन विधि द्वारा:

प्रत्येक पंक्ति के मुख्य अवयव को 1 बनाया जाता है।
मुख्य अवयवों के ऊपर और नीचे के सभी अवयवों को शून्य बनाया जाता है।

अतः किसी भी व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह का समानीकृत इशेलॉन रूप सदैव तत्समक आव्यूह (Identity matrix $I_3$) होता है: $$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

सही: तत्समक आव्यूह $I_3$ सही उत्तर है।
गलत: यह पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन से युक्त है।
गलत: RREF में मुख्य प्रविष्टि 1 होनी चाहिए।
गलत: इसमें $-9$ अवयव शून्य नहीं किया गया है।