Let $A$ be an $n \times n$ matrix of real numbers such that $A^2 = I$. Then the eigenvalues of $A$ are:
मान लीजिए $A$ वास्तविक संख्याओं का एक $n \times n$ आव्यूह है ताकि $A^2 = I$ हो। तब $A$ के आइगेनमान (अभिलाक्षणिक मान) क्या होंगे?
EXPLANATION
Matrices & Linear Algebra
Eigenvalues of an involutory matrix ($A^2 = I$):
- $0, 1$ are eigenvalues of idempotent matrices ($A^2 = A$).
- If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$ with eigenvector $v \ne 0$, then $A v = \lambda v$. Premultiplying by $A$: $A^2 v = \lambda A v = \lambda^2 v$. Since $A^2 = I$, we have $I v = v = \lambda^2 v \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$. Thus, the only possible eigenvalues of an involutory matrix are $+1$ and $-1$.
- Restricts to positive eigenvalues only.
- Restricts to negative eigenvalues only.
प्रतिघाती आव्यूह ($A^2 = I$) के आइगेनमान:
- $0, 1$ वर्गसम आव्यूह ($A^2 = A$) के आइगेनमान होते हैं।
- यदि $\lambda$ आव्यूह $A$ का आइगेनमान है, तो $A v = \lambda v$ होता है। पुनः गुणा करने पर $A^2 v = \lambda^2 v$ प्राप्त होता है। चूंकि $A^2 = I$, अतः $v = \lambda^2 v \implies \lambda^2 - 1 = 0 \implies \lambda = \pm 1$। अतः इसके संभावित आइगेनमान केवल $+1$ और $-1$ हो सकते हैं।
- यह अधूरा विकल्प है।
- यह अधूरा विकल्प है।
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