The series $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2}$ is:
श्रेणी $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2}$ है:
EXPLANATION
Sequences, Series & Progressions
A series $\sum a_n$ is said to be absolutely convergent if the series of absolute values $\sum |a_n|$ converges.
Taking the absolute values of the terms:
$$\sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^n \frac{1}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$By the p-series test, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ converges whenever $p \gt 1$. Here $p = 2 \gt 1$, so the series of absolute values converges.
Therefore, the given series is absolutely convergent (Option 2).
कोई श्रेणी $\sum a_n$ निरपेक्ष अभिसारी (absolutely convergent) कहलाती है यदि इसके निरपेक्ष मानों की श्रेणी $\sum |a_n|$ अभिसारित होती है।
निरपेक्ष मान लेने पर:
$$\sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^n \frac{1}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$p-श्रेणी परीक्षण के अनुसार, जब $p \gt 1$ होता है तो श्रेणी अभिसारी होती है। यहाँ $p = 2 \gt 1$ है, अतः यह श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी (Absolutely convergent) है। विकल्प 2 सही है।
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