If the function f(x, y) has mixed second order partial derivatives f{xy} and f{yx} that are continuous in an open disk containing (x₀, y₀), then : / यदि फलन f(x, y) के मिश्रित द्वितीय कोटि आंशिक अवकलज f{xy} और f{yx} बिंदु (x₀, y₀) को समाहित करने वाले विवृत चकती (open disk) में संतत हों, तो :

f{yx}(x₀, y₀) = f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) ≠ f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) = f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) > f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) < f{xy}(x₀, y₀)

The value of {x +∞} [3]{(3x+5/6x-8)} is given by :

Q.16

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.113)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose the function $f$ is continuous at the point $P(c, f(c))$. Then, the graph of $f$ has a vertical tangent at $P$ if :

मान लें कि फलन $f$ बिंदु $P(c, f(c))$ पर संतत (continuous) है। तब, $f$ के आलेख की बिंदु $P$ पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (vertical tangent) होगी यदि :

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = -\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = -\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = -\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = -\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = 0$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = 0$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$

By definition, the graph of a continuous function $f$ has a vertical tangent line at $x = c$ if the two-sided limit of the difference quotient (or derivative) is infinite with the same sign:
$\lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = +\infty$ (or $-\infty$).
This requires both one-sided limits to agree and tend to $+\infty$ (or both to $-\infty$).
When one side is $+\infty$ and the other is $-\infty$, the graph has a cusp (point of non-differentiability without a unique tangent line), not a vertical tangent line.

Detailed analysis of options:

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ is the definition of a vertical tangent.
Opposite infinite limits define a cusp (e.g., $y = x^{2/3}$), not a tangent line.
Opposite infinite limits define a cusp, not a tangent line.
One finite and one infinite limit does not produce a vertical tangent.

परिभाषा के अनुसार, बिंदु $P(c, f(c))$ पर संतत फलन $f$ के आलेख की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (vertical tangent) तब होती है जब दोनों तरफ से अवकलज की सीमा समान चिन्ह के साथ अनंत की ओर प्रवृत्त हो:
$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ (या दोनों $-\infty$ हों)।
यदि दोनों सीमाओं के चिन्ह विपरीत हों (एक $+\infty$ और दूसरा $-\infty$), तो वह स्पर्श रेखा न होकर उभयाग्र (cusp) कहलाता है।

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा की सही परिभाषा है।
विपरीत चिन्ह होने पर यह उभयाग्र (cusp) बनता है, स्पर्श रेखा नहीं।
विपरीत चिन्ह होने पर उभयाग्र बनता है।
गलत है।

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Q.17

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.114)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{\frac{3x+5}{6x-8}}$ is given by :

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{\frac{3x+5}{6x-8}}$ का मान होगा :

$\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{7}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{7}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Q.18

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.115)

MCQ (Single Correct) +4 −1

If the function $f(x, y)$ has mixed second order partial derivatives $f_{xy}$ and $f_{yx}$ that are continuous in an open disk containing $(x_0, y_0)$, then :

यदि फलन $f(x, y)$ के मिश्रित द्वितीय कोटि आंशिक अवकलज $f_{xy}$ और $f_{yx}$ बिंदु $(x_0, y_0)$ को समाहित करने वाले विवृत चकती (open disk) में संतत हों, तो :

$f_{yx}(x_0, y_0) \ne f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) \ne f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) > f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) > f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) < f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) < f_{xy}(x_0, y_0)$

Q.19

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.119)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $f$ be a function such that $f$ and all its derivatives exist in an open interval $I$ containing $c$, then the Taylor's series of $f$ at $x = c$ is given by :

माना कि $f$ एक ऐसा फलन है जिसके $f$ और उसके सभी अवकलज $c$ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल $I$ में अस्तित्व रखते हैं, तो $x = c$ पर $f$ की टेलर श्रेणी (Taylor's series) होगी :

$f(c) + \frac{f'(c)}{1!}x + \frac{f''(c)}{2!}x^2 + \dots$ $f(c) + \frac{f'(c)}{1!}x + \frac{f''(c)}{2!}x^2 + \dots$ $f(c) - \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ $f(c) - \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ $f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ $f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ $f(c) - \frac{f'(c)}{1!}x + \frac{f''(c)}{2!}x^2 - \dots$ $f(c) - \frac{f'(c)}{1!}x + \frac{f''(c)}{2!}x^2 - \dots$

Q.20

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.97)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}$ is given by :

सीमा $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}$ का मान है:

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-1$ $1$ $1$

Evaluation of the left-hand limit:
As $x \to 1^-$, $x \lt 1$. For values of $x$ close to 1 with $0 \lt x \lt 1$, we have $x^2 \lt 1$, which implies $x^2 - 1 \lt 0$.
By definition of absolute value, when $u \lt 0$, $|u| = -u$.

Therefore, $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$. Substituting this into the expression: $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{-(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-(x + 1)} = \frac{1}{-(1 + 1)} = -\frac{1}{2}$. Option breakdown:

$\frac{1}{2}$ corresponds to the right-hand limit as $x \to 1^+$.
$-\frac{1}{2}$ is the correct left-hand limit because the denominator retains a negative sign from the absolute value.
$-1$ fails to evaluate the factor $(x+1)$ at $x=1$.
$1$ is incorrect.

वामपक्षीय सीमा (Left-hand limit) का मूल्यांकन:
जब $x \to 1^-$ होता है, तब $x \lt 1$ होता है। $1$ के निकट के मानों (जैसे $0 \lt x \lt 1$) के लिए $x^2 \lt 1$ होता है, जिससे $x^2 - 1 \lt 0$ होता है।
मापांक की परिभाषा के अनुसार, जब कोई राशि ऋणात्मक होती है, तो $|u| = -u$ होता है।

अतः $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$. व्यंजक में रखने पर: $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{-(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-(x + 1)} = -\frac{1}{2}$. विकल्पों का विश्लेषण: