If the function $f(x, y)$ has mixed second order partial derivatives $f_{xy}$ and $f_{yx}$ that are continuous in an open disk containing $(x_0, y_0)$, then :
यदि फलन $f(x, y)$ के मिश्रित द्वितीय कोटि आंशिक अवकलज $f_{xy}$ और $f_{yx}$ बिंदु $(x_0, y_0)$ को समाहित करने वाले विवृत चकती (open disk) में संतत हों, तो :
According to Clairaut's Theorem (also known as Schwarz's Theorem on the equality of mixed partials), if the mixed second-order partial derivatives $f_{xy}$ and $f_{yx}$ exist and are continuous in a neighbourhood of a point $(x_0, y_0)$, then they are equal:
$f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$.
Detailed analysis of options:
- $f_{yx} \ne f_{xy}$ contradicts Clairaut's theorem.
- $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ is the precise statement of Clairaut's theorem.
- Strict inequality is incorrect.
- Strict inequality is incorrect.
क्लेरॉट के प्रमेय (Clairaut's Theorem या Schwarz's Theorem) के अनुसार, यदि किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिवेश में मिश्रित द्वितीय कोटि के आंशिक अवकलज $f_{xy}$ तथा $f_{yx}$ अस्तित्व में हों और संतत हों, तो वे परस्पर समान होते हैं:
$f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- असमानता क्लेरॉट प्रमेय का उल्लंघन करती है।
- $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ सही उत्तर है।
- गलत है।
- गलत है।
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