Let $f$ be a function such that $f$ and all its derivatives exist in an open interval $I$ containing $c$, then the Taylor's series of $f$ at $x = c$ is given by :
माना कि $f$ एक ऐसा फलन है जिसके $f$ और उसके सभी अवकलज $c$ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल $I$ में अस्तित्व रखते हैं, तो $x = c$ पर $f$ की टेलर श्रेणी (Taylor's series) होगी :
The Taylor series expansion of a smooth function $f(x)$ centered at $x = c$ is defined by the power series:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - c)^n = f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + \dots$.
When $c = 0$, it reduces to the Maclaurin series.
Detailed analysis of options:
- Uses powers of $x$ rather than $(x-c)$ with center $c$.
- Incorrect negative sign on the first derivative term.
- $f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ is the standard definition of Taylor's series centered at $c$.
- Incorrect alternating signs and powers of $x$.
$x = c$ पर किसी अवकलनीय फलन $f(x)$ की टेलर श्रेणी (Taylor's series) घात श्रेणी (power series) के रूप में निम्न प्रकार परिभाषित होती है:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - c)^n = f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x - c) + \frac{f''(c)}{2!}(x - c)^2 + \dots$.
जब $c = 0$ होता है, तो इसे मैक्लॉरिन श्रेणी (Maclaurin series) कहते हैं।
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- इसमें $(x-c)$ के स्थान पर $x$ की घातें हैं।
- प्रथम अवकलज पद में ऋणात्मक चिन्ह है।
- $f(c) + \frac{f'(c)}{1!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \dots$ सही परिभाषा है।
- गलत है।
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