The value of $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}$ is given by :
सीमा $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}$ का मान है:
Evaluation of the left-hand limit:
As $x \to 1^-$, $x \lt 1$. For values of $x$ close to 1 with $0 \lt x \lt 1$, we have $x^2 \lt 1$, which implies $x^2 - 1 \lt 0$.
By definition of absolute value, when $u \lt 0$, $|u| = -u$.
Therefore, $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$.
Substituting this into the expression:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{-(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-(x + 1)} = \frac{1}{-(1 + 1)} = -\frac{1}{2}$.
Option breakdown:
- $\frac{1}{2}$ corresponds to the right-hand limit as $x \to 1^+$.
- $-\frac{1}{2}$ is the correct left-hand limit because the denominator retains a negative sign from the absolute value.
- $-1$ fails to evaluate the factor $(x+1)$ at $x=1$.
- $1$ is incorrect.
वामपक्षीय सीमा (Left-hand limit) का मूल्यांकन:
जब $x \to 1^-$ होता है, तब $x \lt 1$ होता है। $1$ के निकट के मानों (जैसे $0 \lt x \lt 1$) के लिए $x^2 \lt 1$ होता है, जिससे $x^2 - 1 \lt 0$ होता है।
मापांक की परिभाषा के अनुसार, जब कोई राशि ऋणात्मक होती है, तो $|u| = -u$ होता है।
अतः $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$.
व्यंजक में रखने पर:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{-(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-(x + 1)} = -\frac{1}{2}$.
विकल्पों का विश्लेषण:
- $\frac{1}{2}$ दक्षिणपक्षीय सीमा ($x \to 1^+$) का मान है।
- $-\frac{1}{2}$ वामपक्षीय सीमा का सही मान है।
- $-1$ अमान्य है।
- $1$ अमान्य है।
Explanation not matching this question?
क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
Report
Want to practice this paper in exam conditions?
क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं?
Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers.
5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।
Start Practice Mode →
प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →