If $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$, then find the value of $\frac{\partial(r, \theta)}{\partial(x, y)}$:
यदि $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ हो, तो $\frac{\partial(r, \theta)}{\partial(x, y)}$ का मान ज्ञात कीजिए:
Calculations for the Jacobian:
- The direct Jacobian of Cartesian coordinates $(x, y)$ with respect to polar coordinates $(r, \theta)$ is:
$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\[6pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}$$
$$J = r\cos^2\theta - (-r\sin^2\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$$ - By the reciprocal property of Jacobians:
$$\frac{\partial(r, \theta)}{\partial(x, y)} = \frac{1}{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} = \frac{1}{r}$$
Hence, Option 1 ($1/r$) is correct.
जैकोबियन (Jacobian) की गणना:
- ध्रुवीय निर्देशांकों के सापेक्ष कार्तीय निर्देशांकों का जैकोबियन:
$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$$ - व्युत्क्रम जैकोबियन प्रमेय से:
$$\frac{\partial(r, \theta)}{\partial(x, y)} = \frac{1}{J} = \frac{1}{r}$$
अतः विकल्प 1 ($1/r$) सही उत्तर है।
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