Find the solution of the differential equation $\frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 4y = 2x^2 + 3e^{-x}$:
अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 4y = 2x^2 + 3e^{-x}$ का हल ज्ञात कीजिए:
Solving the second-order linear non-homogeneous differential equation:
- Complementary Function (C.F.):
Auxiliary equation: $m^2 + 2m + 4 = 0$
$$m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$$
$$\text{C.F.} = e^{-x}\left[C_1 \cos(\sqrt{3}x) + C_2 \sin(\sqrt{3}x)\right]$$ - Particular Integral (P.I.) for $3e^{-x}$:
$$\text{P.I.}_2 = \frac{1}{D^2 + 2D + 4}(3e^{-x}) = \frac{3e^{-x}}{(-1)^2 + 2(-1) + 4} = \frac{3e^{-x}}{3} = e^{-x}$$ - Particular Integral for $2x^2$:
$$\text{P.I.}_1 = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{2D + D^2}{4}\right)^{-1}(2x^2) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$$
Combining gives $y = \text{C.F.} + \text{P.I.}_1 + \text{P.I.}_2$ matching Option 1 exactly.
द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल:
- पूरक फलन (C.F.): सहायक समीकरण $m^2 + 2m + 4 = 0 \implies m = -1 \pm i\sqrt{3}$
$$\text{C.F.} = e^{-x}[C_1 \cos\sqrt{3}x + C_2 \sin\sqrt{3}x]$$ - विशेष समाकल (P.I.):
$$\text{P.I.}(3e^{-x}) = \frac{3e^{-x}}{(-1)^2 + 2(-1) + 4} = e^{-x}$$
$$\text{P.I.}(2x^2) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$$
अतः पूर्ण हल विकल्प 1 के अनुरूप प्राप्त होता है।
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