The area under the curve y = x on [-(π/2), (π/2)] is given by : / वक्र y = x के अंतर्गत अंतराल [-(π/2), (π/2)] पर क्षेत्रफल होगा :

(1/2) square units / (1/2) वर्ग इकाई

π square units / π वर्ग इकाई

(π/4) square units / (π/4) वर्ग इकाई

If (n) = ₀^∞ e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0), then the value of ₀^{π/2}^n x\,dx is given by : / यदि (n) = ₀^∞ e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0) है, तो ₀^{π/2}^n x\,dx का मान होगा :

{((n+1/2))}{((n+2/2))}{{π}}{2}

{((n+2/2))}{((n+1/2))}{{π}}{2}

The value of ⁻¹(2x)\,dx is given by :

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Q.1

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.103)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ is given by :

$\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ का मान होगा :

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$

Using integration by parts: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
Let $u = \cos^{-1}(2x)$ and $dv = dx$.
Then $du = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$, and $v = x$.

Thus: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. To evaluate the remaining integral, let $w = 1 - 4x^2$, so $dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. Then $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}\int w^{-1/2}dw = -\frac{1}{4}(2w^{1/2}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. Combining terms gives: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. Detailed analysis of options:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ is the correct result.
Uses $\sin^{-1}$ instead of $\cos^{-1}$.
Has a plus sign instead of minus sign.
Uses $\sin^{-1}$ and plus sign.

खंडशः समाकलन (integration by parts) का प्रयोग करने पर: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
माना $u = \cos^{-1}(2x)$ तथा $dv = dx$.
तब $du = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$ और $v = x$.

अतः: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. शेष समाकल हेतु, माना $w = 1 - 4x^2 \implies dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. अतः $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}(2\sqrt{w}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. अंतिम मान: $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ सही उत्तर है।
$\cos^{-1}$ के स्थान पर $\sin^{-1}$ लिखा है।
ऋण चिन्ह के स्थान पर धन चिन्ह लिखा है।
गलत है।

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Q.2

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.104)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The area under the curve $y = \cos x$ on $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ is given by :

वक्र $y = \cos x$ के अंतर्गत अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर क्षेत्रफल होगा :

$\frac{1}{2}$ square units $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई 2 square units 2 वर्ग इकाई $\pi$ square units $\pi$ वर्ग इकाई $\frac{\pi}{4}$ square units $\frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई

Q.3

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.105)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\iint_R y^2 x \,dydx$ over the rectangle $R = \{(x, y) : -3 \le x \le 2, 0 \le y \le 1\}$ is given by :

आयत $R = \{(x, y) : -3 \le x \le 2, 0 \le y \le 1\}$ पर $\iint_R y^2 x \,dydx$ का मान होगा :

$-\frac{1}{6}$ $-\frac{1}{6}$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{5}{6}$ $-\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$

Since the limits of integration are independent constants, the double integral factors into the product of two single integrals:
$\iint_R y^2 x \,dy\,dx = \left(\int_{-3}^2 x\,dx\right) \left(\int_0^1 y^2\,dy\right)$.
Evaluate the first integral:
$\int_{-3}^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-3}^2 = \frac{4 - 9}{2} = -\frac{5}{2}$.
Evaluate the second integral:
$\int_0^1 y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
Multiplying them:
$-\frac{5}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.

Detailed analysis of options:

$-1/6$ is incorrect.
$-1/2$ is incorrect.
$-5/6$ is correct ($(-5/2) \times (1/3) = -5/6$).
$5/6$ has the wrong sign.

चूँकि समाकलन की सीमाएँ स्वतंत्र स्थिरांक हैं, अतः द्विक समाकल (double integral) को दो एकल समाकलों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$\iint_R y^2 x \,dy\,dx = \left(\int_{-3}^2 x\,dx\right) \left(\int_0^1 y^2\,dy\right)$.
पहले समाकल का मान:
$\int_{-3}^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-3}^2 = \frac{4 - 9}{2} = -\frac{5}{2}$.
दूसरे समाकल का मान:
$\int_0^1 y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
दोनों का गुणनफल:
$-\frac{5}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$-1/6$ गलत है।
$-1/2$ गलत है।
$-5/6$ सही उत्तर है।
$5/6$ में चिन्ह गलत है।

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Q.4

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.118)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int_0^6 f(x)\,dx$ if $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 2 \\ 3x-2, & x \ge 2 \end{cases}$ is given by :

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 2 \\ 3x-2, & x \ge 2 \end{cases}$ हो, तो $\int_0^6 f(x)\,dx$ का मान होगा :

1 1 0 0 $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{128}{3}$ $\frac{128}{3}$

Q.5

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.120)

MCQ (Single Correct) +4 −1

If $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0)$, then the value of $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ is given by :

यदि $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0)$ है, तो $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ का मान होगा :

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+1)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+1)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

By Euler's integral of the first kind in terms of Gamma functions:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
Setting $p = n$ and $q = 0$:
$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
Since $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, this simplifies to:
$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Detailed analysis of options:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ is the exact formula.
Has $n/2$ and $(n+1)/2$ instead of $(n+1)/2$ and $(n+2)/2$.
Inverts the ratio of Gamma arguments.
Uses integer arguments $n$ and $n+1$.

गामा और बीटा फलनों के संबंध से मानक समाकल सूत्र:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
यहाँ $p = n$ तथा $q = 0$ रखने पर:
$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
चूँकि $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ होता है, अतः व्यंजक:
$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ सही उत्तर है।
गलत कोणांक (arguments) हैं।
अनुपात व्युत्क्रम है।
गलत है।