A toy manufacturer produces an inexpensive doll (flopsy) and an expensive doll (mopsy) in units of $x$ hundreds and $y$ hundreds respectively. Suppose it is possible to produce the doll in such a way that $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ and that the company receives twice as much for selling a mopsy doll as for selling a flopsy doll. The level of production for both flopsy and mopsy dolls for which the total revenue derived from selling these dolls is maximized is given by :
एक खिलौना निर्माता एक सस्ती गुड़िया (flopsy) और एक महंगी गुड़िया (mopsy) का उत्पादन क्रमशः $x$ सैकड़ों और $y$ सैकड़ों इकाइयों में करता है। मान लें कि गुड़िया का उत्पादन इस प्रकार संभव है कि $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ तथा कंपनी को एक mopsy गुड़िया बेचने पर flopsy गुड़िया की तुलना में दोगुना मूल्य प्राप्त होता है। flopsy और mopsy दोनों गुड़ियों के उत्पादन का वह स्तर जिस पर कुल राजस्व (total revenue) अधिकतम हो, होगा :
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Let the price of a flopsy doll be $p$. Then the price of a mopsy doll is $2p$.
The total revenue (in hundreds of $p$) is:
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
Note that $\frac{82-10x}{10-x} = \frac{10(10-x) - 18}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.
Thus, $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$.
Differentiating with respect to $x$:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$.
Setting the derivative to zero for maximum:
$1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$ (since $0 \le x \le 8$).
Now calculate $y$:
$y = \frac{82 - 10(4)}{10 - 4} = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$.
Since $x$ and $y$ are measured in hundreds, the quantities are:
Flopsy = $4 \times 100 = 400$,
Mopsy = $7 \times 100 = 700$.
Detailed analysis of options:
- Flopsy: 40 and Mopsy: 70 has the wrong scale factor (tens instead of hundreds).
- Flopsy: 700 and Mopsy: 400 reverses the quantities of $x$ and $y$.
- Flopsy: 400 and Mopsy: 700 is the correct optimal production level.
- Flopsy: 70 and Mopsy: 40 is incorrect.
माना flopsy गुड़िया का मूल्य $p$ है, तो mopsy गुड़िया का मूल्य $2p$ होगा।
कुल राजस्व (total revenue):
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
हम लिख सकते हैं: $\frac{82-10x}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.
अतः $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$.
अधिकतम राजस्व हेतु अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$.
अब $y$ का मान ज्ञात करने पर:
$y = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$.
चूँकि $x$ और $y$ सैकड़ों में हैं:
Flopsy = $4 \times 100 = 400$,
Mopsy = $7 \times 100 = 700$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- Flopsy: 40 तथा Mopsy: 70 में पैमाना गलत है।
- Flopsy: 700 तथा Mopsy: 400 में मान परस्पर बदल दिए गए हैं।
- Flopsy: 400 तथा Mopsy: 700 सही उत्तर है।
- Flopsy: 70 तथा Mopsy: 40 गलत है।
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