A toy manufacturer produces an inexpensive doll (flopsy) and an expensive doll (mopsy) in units of $x$ hundreds and $y$ hundreds respectively. Suppose it is possible to produce the doll in such a way that $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ and that the company receives twice as much for selling a mopsy doll as for selling a flopsy doll. The level of production for both flopsy and mopsy dolls for which the total revenue derived from selling these dolls is maximized is given by :
एक खिलौना निर्माता एक सस्ती गुड़िया (flopsy) और एक महंगी गुड़िया (mopsy) का उत्पादन क्रमशः $x$ सैकड़ों और $y$ सैकड़ों इकाइयों में करता है। मान लें कि गुड़िया का उत्पादन इस प्रकार संभव है कि $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ तथा कंपनी को एक mopsy गुड़िया बेचने पर flopsy गुड़िया की तुलना में दोगुना मूल्य प्राप्त होता है। flopsy और mopsy दोनों गुड़ियों के उत्पादन का वह स्तर जिस पर कुल राजस्व (total revenue) अधिकतम हो, होगा :
Let the price of a flopsy doll be $p$. Then the price of a mopsy doll is $2p$.
The total revenue (in hundreds of $p$) is:
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
Note that $\frac{82-10x}{10-x} = \frac{10(10-x) - 18}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.
Thus, $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$.
Differentiating with respect to $x$:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$.
Setting the derivative to zero for maximum:
$1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$ (since $0 \le x \le 8$).
Now calculate $y$:
$y = \frac{82 - 10(4)}{10 - 4} = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$.
Since $x$ and $y$ are measured in hundreds, the quantities are:
Flopsy = $4 \times 100 = 400$,
Mopsy = $7 \times 100 = 700$.
Detailed analysis of options:
Flopsy: 40 and Mopsy: 70 has the wrong scale factor (tens instead of hundreds).
Flopsy: 700 and Mopsy: 400 reverses the quantities of $x$ and $y$.
Flopsy: 400 and Mopsy: 700 is the correct optimal production level.
Flopsy: 70 and Mopsy: 40 is incorrect.
माना flopsy गुड़िया का मूल्य $p$ है, तो mopsy गुड़िया का मूल्य $2p$ होगा।
कुल राजस्व (total revenue):
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
हम लिख सकते हैं: $\frac{82-10x}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.
अतः $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$.
अधिकतम राजस्व हेतु अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$.
अब $y$ का मान ज्ञात करने पर:
$y = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$.
चूँकि $x$ और $y$ सैकड़ों में हैं:
Flopsy = $4 \times 100 = 400$,
Mopsy = $7 \times 100 = 700$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
Flopsy: 40 तथा Mopsy: 70 में पैमाना गलत है।
Flopsy: 700 तथा Mopsy: 400 में मान परस्पर बदल दिए गए हैं।
Flopsy: 400 तथा Mopsy: 700 सही उत्तर है।
Flopsy: 70 तथा Mopsy: 40 गलत है।
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Q.13
ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.73)
The standard $n \times n$ exchange matrix $J_n$ with ones along the anti-diagonal has determinant given by $\det(J_n) = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}$. For $n = 7$: $\frac{7 \times 6}{2} = 21$. Therefore, $\det(A) = (-1)^{21} = -1$.
permutation matrix can only have determinant $+1$ or $-1$.
$-2$ is impossible for a permutation matrix.
प्रति-विकर्ण आव्यूह के सारणिक की गणना:
$+1$ तब होता है जब घात सम हो।
प्रति-विकर्ण पर $1$ रखने वाले $n \times n$ आव्यूह का सारणिक $\det(J_n) = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ $n = 7$ हेतु घात $\frac{7 \times 6}{2} = 21$ (विषम) है। अतः सारणिक का मान $(-1)^{21} = -1$ होता है।
क्रमचय आव्यूह का सारणिक केवल $\pm 1$ हो सकता है।
$-2$ असंभव है।
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Q.14
ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.74)
Let $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ be a linear transformation such that $T$ is a rotation by an angle of $90^\circ$ in the clockwise direction in $\mathbb{R}^2$. Then:
मान लीजिए $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ एक रैखिक रूपांतरण है जहाँ $T$, $\mathbb{R}^2$ में दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज) दिशा में $90^\circ$ के कोण पर घूर्णन है। तब:
$(0, 1)$ is obtained by rotating $(1, 0)$ counter-clockwise by $90^\circ$.
Length must be preserved ($1$), but $(1, -1)$ has norm $\sqrt{2}$.
clockwise rotation by $90^\circ$ corresponds to an angle $\theta = -90^\circ$. The transformation matrix is: $\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Applying this to the standard basis vector $(1, 0)^T$: $T(1, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = (0, -1)$.
$(1, 1)$ does not preserve length.
द्विविमीय समतल में दक्षिणावर्त घूर्णन:
$(0, 1)$ वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज) घूर्णन से प्राप्त होता है।
घूर्णन सदिश की लंबाई को अपरिवर्तित रखता है।
दक्षिणावर्त दिशा में $90^\circ$ के कोण पर घूर्णन आव्यूह $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ होता है। अतः आधार सदिश $(1, 0)$ का रूपांतरण: $T(1, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = (0, -1)$ प्राप्त होता है।
यह अमान्य मान है।
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Q.15
ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.75)
$0, 1$ are eigenvalues of idempotent matrices ($A^2 = A$).
If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$ with eigenvector $v \ne 0$, then $A v = \lambda v$. Premultiplying by $A$: $A^2 v = \lambda A v = \lambda^2 v$. Since $A^2 = I$, we have $I v = v = \lambda^2 v \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$. Thus, the only possible eigenvalues of an involutory matrix are $+1$ and $-1$.
Restricts to positive eigenvalues only.
Restricts to negative eigenvalues only.
प्रतिघाती आव्यूह ($A^2 = I$) के आइगेनमान:
$0, 1$ वर्गसम आव्यूह ($A^2 = A$) के आइगेनमान होते हैं।
यदि $\lambda$ आव्यूह $A$ का आइगेनमान है, तो $A v = \lambda v$ होता है। पुनः गुणा करने पर $A^2 v = \lambda^2 v$ प्राप्त होता है। चूंकि $A^2 = I$, अतः $v = \lambda^2 v \implies \lambda^2 - 1 = 0 \implies \lambda = \pm 1$। अतः इसके संभावित आइगेनमान केवल $+1$ और $-1$ हो सकते हैं।
यह अधूरा विकल्प है।
यह अधूरा विकल्प है।
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