Let $A$ be a $5 \times 5$ skew-symmetric matrix of real numbers. Then
which of the following is true?
मान लीजिए $A$ वास्तविक संख्याओं का एक $5 \times 5$ विषम-सममित आव्यूह है। तब
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Properties of real skew-symmetric matrices:
- By definition of a skew-symmetric matrix, $A^T = -A$. Taking determinants: $\det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$. Since $\det(A^T) = \det(A)$ and $n = 5$ (odd): $\det(A) = -\det(A) \implies 2\det(A) = 0 \implies \det(A) = 0$. Since the determinant is zero, $A$ is definitely a singular matrix.
- An invertible matrix must have a non-zero determinant.
- real skew-symmetric matrix of odd order always has at least one real eigenvalue equal to zero ($\lambda = 0$).
- The determinant is identically zero.
विषम-सममित आव्यूह के गुणधर्म:
- विषम-सममित आव्यूह में $A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ प्राप्त होता है। चूंकि $n = 5$ (विषम कोटि) है, अतः $\det(A) = -\det(A) \implies 2\det(A) = 0 \implies \det(A) = 0$। शून्य सारणिक होने के कारण आव्यूह $A$ अनिवार्य रूप से अव्युत्क्रमणीय (सिंगुलर) आव्यूह होता है।
- यह व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता।
- विषम कोटि में कम से कम एक आइगेनमान शून्य (वास्तविक) अवश्य होता है।
- इसका सारणिक शून्य होता है।
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