Which of the following statements is always true for a square...

Q.21

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.81)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Which of the following statements is always true for a square matrix?

एक वर्ग आव्यूह के लिए

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सदैव सत्य है?

If a matrix is singular, then determinant is non-zero यदि आव्यूह सिंगुलर है, तो सारणिक गैर-शून्य होता है If a matrix is non-singular, then determinant is zero यदि आव्यूह नॉन-सिंगुलर है, तो सारणिक शून्य होता है If a matrix is invertible, then determinant is non-zero यदि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है, तो सारणिक गैर-शून्य होता है Correct If a matrix is not invertible, then the determinant is non-zero यदि आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो सारणिक गैर-शून्य होता है

Conditions for invertibility of square matrices:

singular matrix has determinant equal to zero by definition.
non-singular matrix has non-zero determinant.
By the Fundamental Invertible Matrix Theorem, a square matrix $A$ is invertible if and only if its determinant is non-zero ($\det(A) \ne 0$). Hence, this statement is always true.
non-invertible matrix has determinant equal to zero.

वर्ग आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने की शर्तें:

सिंगुलर आव्यूह का सारणिक सदैव शून्य होता है।
नॉन-सिंगुलर आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य होता है।
व्युत्क्रमणीय आव्यूह प्रमेय के अनुसार, कोई वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय केवल तभी होता है जब उसका सारणिक अशून्य हो ($\det(A) \ne 0$)। अतः यह कथन सदैव सत्य है।
अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का सारणिक शून्य होता है।

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