If $A$ and $B$ be orthogonal matrices of same size, then :
यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के लाम्बिक आव्यूह हैं, तो:
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Fundamental properties of orthogonal matrices:
A square matrix $A$ is orthogonal if $A^T A = I$.
Taking the determinant of both sides:
$\det(A^T A) = \det(A^T)\det(A) = (\det(A))^2 = \det(I) = 1$.
Thus, $|A| = \pm 1$.
Option breakdown:
- $|A| = \pm 1$ is a standard property of any real orthogonal matrix.
- For an orthogonal matrix, $A^T = A^{-1}$, not $-A^{-1}$.
- The determinant can never be 0 because orthogonal matrices are always non-singular.
- The product of two orthogonal matrices of the same order is always orthogonal: $(AB)^T(AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I$.
लाम्बिक आव्यूह के मूलभूत गुणधर्म:
एक वर्ग आव्यूह $A$ लाम्बिक कहलाता है यदि $A^T A = I$ हो।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$\det(A^T A) = (\det(A))^2 = 1 \implies |A| = \pm 1$.
विकल्पों का विश्लेषण:
- $|A| = \pm 1$ लाम्बिक आव्यूह का मूलभूत और सही गुणधर्म है।
- लाम्बिक आव्यूह के लिए $A^T = A^{-1}$ होता है, $-A^{-1}$ नहीं।
- लाम्बिक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं, अतः सारणिक कभी शून्य नहीं हो सकता।
- दो लाम्बिक आव्यूहों का गुणनफल सदैव लाम्बिक होता है।
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