Let W1 and W2 are two subspaces of a vector space V over the field F, then :
मान लीजिए W1 और W2 क्षेत्र F पर किसी सदिश समष्टि V की दो उप-समष्टियाँ (Subspaces) हैं, तो :
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Analysis of subspace theorems:
- Incorrect: The linear sum $W_1 + W_2$ is always a subspace of $V$.
- Incorrect: The union $W_1 \cup W_2$ is a subspace if and only if one is contained in the other ($W_1 \subseteq W_2$ or $W_2 \subseteq W_1$).
- Correct: A fundamental theorem in linear algebra states that the intersection $W_1 \cap W_2$ of any two subspaces of a vector space $V$ is always a subspace of $V$ (closed under vector addition and scalar multiplication, and containing the zero vector).
- Incorrect: Subspaces are not necessarily orthogonal.
सदिश उप-समष्टियों के प्रमेयों का विश्लेषण:
- गलत: रैखिक योग $W_1 + W_2$ सदैव एक उप-समष्टि होता है।
- गलत: दो उप-समष्टियों का संघ ($W_1 \cup W_2$) केवल तभी उप-समष्टि होता है जब एक दूसरे में समाहित हो।
- सही: रैखिक बीजगणित का मूलभूत प्रमेय है कि किसी सदिश समष्टि की किन्हीं दो उप-समष्टियों का सर्वनिष्ठ ($W_1 \cap W_2$) सदैव एक उप-समष्टि (Subspace) होता है।
- गलत: उप-समष्टियों का परस्पर लंबकोणीय होना अनिवार्य नहीं है।
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