If the interval of differencing being unity and $\Delta$ be the forward difference operator, then the value of $\Delta\left(\frac{2^x}{x!}\right)$ is given by:
यदि अंतरण अंतराल इकाई (unity, $h=1$) हो और $\Delta$ अग्रगामी अंतर संकारक (forward difference operator) हो, तो $\Delta\left(\frac{2^x}{x!}\right)$ का मान होगा:
By definition of the forward difference operator $\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)$ with differencing step $h = 1$:
$$\Delta\left(\frac{2^x}{x!}\right) = \frac{2^{x+1}}{(x + 1)!} - \frac{2^x}{x!}$$Express over a common denominator $(x + 1)! = (x + 1)x!$:
$$= \frac{2 \cdot 2^x}{(x + 1)!} - \frac{2^x(x + 1)}{(x + 1)!}$$ $$= \frac{2^x [2 - (x + 1)]}{(x + 1)!} = \frac{2^x(1 - x)}{(x + 1)!}$$Hence, Option 2 is correct.
अग्रगामी अंतर संकारक $\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)$ की परिभाषा से ($h = 1$ के लिए):
$$\Delta\left(\frac{2^x}{x!}\right) = \frac{2^{x+1}}{(x + 1)!} - \frac{2^x}{x!}$$समान हर $(x + 1)!$ लेने पर:
$$= \frac{2 \cdot 2^x - (x + 1)2^x}{(x + 1)!} = \frac{2^x [2 - x - 1]}{(x + 1)!} = \frac{2^x(1 - x)}{(x + 1)!}$$अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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