The series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ is :
श्रेणी $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ है :
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
The series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ is the standard harmonic series.
By the p-series test, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ converges if $p \gt 1$ and diverges if $p \le 1$.
Here, $p = 1$, so the series diverges to infinity.
Detailed analysis of options:
- Convergent is incorrect because the partial sums grow without bound (as $\ln n$).
- Divergent is correct; the harmonic series is a classic divergent series.
- Absolutely convergent is incorrect as it is not convergent.
- Conditionally convergent applies to alternating series, not positive term divergent series.
श्रेणी $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ मानक हरात्मक श्रेणी (harmonic series) है।
$p$-श्रेणी परीक्षण (p-series test) के अनुसार, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ तब अभिसारी होती है जब $p \gt 1$, तथा $p \le 1$ होने पर अपसारी होती है।
यहाँ $p = 1$ है, अतः यह श्रेणी अनंत की ओर अपसारी (divergent) होती है।
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- अभिसारी (Convergent) गलत है क्योंकि इसके आंशिक योग लगातार बढ़ते हैं।
- अपसारी (Divergent) सही उत्तर है।
- निरपेक्ष अभिसारी (Absolutely Convergent) गलत है।
- सप्रतिबंध अभिसारी (Conditionally Convergent) एकांतर श्रेणियों के लिए होता है।
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