The series $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ and $\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ are:
श्रेणी $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ और $\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ कैसी हैं?
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Analysis of p-series convergence:
- Both series are convergent, so neither is divergent.
- For $\sum \frac{1}{n^2}$, the exponent is $p = 2 \gt 1$, which converges by the p-series test. For $\sum \frac{1}{n^3}$, the exponent is $p = 3 \gt 1$, which also converges by the p-series test. Therefore, both series are convergent.
- Both are convergent.
- Both are convergent.
p-श्रेणी अभिसरण का विश्लेषण:
- दोनों श्रेणियां अभिसारी हैं।
- पहली श्रेणी $\sum \frac{1}{n^2}$ में $p = 2 \gt 1$ है, अतः यह अभिसारी है। दूसरी श्रेणी $\sum \frac{1}{n^3}$ में $p = 3 \gt 1$ है, अतः यह भी अभिसारी है। इसलिए दोनों श्रेणियां अभिसारी हैं।
- असत्य कथन।
- असत्य कथन।
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