Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be sequences of real number. Let $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ and $(a_n b_n)$ are convergent, then:
मान लीजिए $(a_n)$ और $(b_n)$ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं। यदि $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ और $(a_n b_n)$ अभिसारी हैं, तो:
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Consider the counterexample:
Let $a_n = (-1)^n$ and $b_n = (-1)^n$.
Both $(a_n)$ and $(b_n)$ are oscillatory and therefore divergent.
However, their quotient $\frac{a_n}{b_n} = \frac{(-1)^n}{(-1)^n} = 1$ is a constant sequence converging to 1.
Their product $a_n b_n = (-1)^n \times (-1)^n = (-1)^{2n} = 1$ is also a constant sequence converging to 1.
Thus, even when $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ and $(a_n b_n)$ are both convergent, $(a_n)$ and $(b_n)$ both may be divergent.
Hence, Option 1 is correct.
प्रति-उदाहरण (counterexample) द्वारा:
मान लीजिए $a_n = (-1)^n$ तथा $b_n = (-1)^n$।
ये दोनों अनुक्रम अपसारी (divergent) हैं।
किंतु इनका भागफल $\frac{a_n}{b_n} = 1$ (अभिसारी) है और गुणनफल $a_n b_n = 1$ (अभिसारी) है।
अतः $(a_n)$ और $(b_n)$ दोनों अपसारी हो सकते हैं (विकल्प 1 सही है)।
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