Let {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} be series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} श्रेणियां हैं, तो:

{n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} is divergent and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} is convergent / {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} अपसारी है और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} अभिसारी है

{n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} is convergent and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} is divergent / {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} अभिसारी है और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} अपसारी है

{n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} is divergent and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} is convergent / {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} अपसारी है और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} अभिसारी है

Let {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} be series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} श्रेणियां हैं, तो:

(4) {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} is divergent and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} is convergent / {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} अपसारी है और {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} अभिसारी है Explanation (English): According to the p-series test (hyperharmonic series {n=1}^∞ (1/n^p)): The series converges if p > 1. The series diverges if p ≤ 1. Analysis of the two series: 1. For {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}}, p = 1/2 ≤ 1 divergent. 2. For {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}}, p = 3/2 > 1 convergent. Hence, Option 4 is correct. व्याख्या (हिंदी): p-श्रेणी परीक्षण (p-series test) के अनुसार {n=1}^∞ (1/n^p): जब p > 1 हो, तो श्रेणी अभिसारी (convergent) होती है। जब p ≤ 1 हो, तो श्रेणी अपसारी (divergent) होती है। 1. पहली श्रेणी {1}{n^{1/2}} में p = 1/2 ≤ 1 है अपसारी है। 2. दूसरी श्रेणी {1}{n^{3/2}} में p = 3/2 > 1 है अभिसारी है। अतः विकल्प 4 सही उत्तर है।

Let {n=1}^∞ {1}{n^{1/2}} and {n=1}^∞ {1}{n^{3/2}} be series...

Q.6

ICAR AIEEA PG 2024 - Statistical Sciences (Q.79)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ and $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ be series, then:

मान लीजिए $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ और $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ श्रेणियां हैं, तो:

both are convergent दोनों अभिसारी हैं both are divergent दोनों अपसारी हैं $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ is convergent and $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ is divergent $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ अभिसारी है और $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ अपसारी है $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ is divergent and $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ is convergent $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$ अपसारी है और $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ अभिसारी है Correct

According to the p-series test (hyperharmonic series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$):
The series converges if $p \gt 1$.
The series diverges if $p \le 1$.

Analysis of the two series:

For $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$, $p = 1/2 \le 1 \implies$ divergent.
For $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$, $p = 3/2 \gt 1 \implies$ convergent.

Hence, Option 4 is correct.

p-श्रेणी परीक्षण (p-series test) के अनुसार $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$:
जब $p \gt 1$ हो, तो श्रेणी अभिसारी (convergent) होती है।
जब $p \le 1$ हो, तो श्रेणी अपसारी (divergent) होती है।

पहली श्रेणी $\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ में $p = 1/2 \le 1$ है $\implies$ अपसारी है।
दूसरी श्रेणी $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ में $p = 3/2 \gt 1$ है $\implies$ अभिसारी है।

अतः विकल्प 4 सही उत्तर है।

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