Let {n=1}^∞ an = {n=1}^∞ (-1)^n ( nx/n²) is a series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an = {n=1}^∞ (-1)^n ( nx/n²) एक श्रेणी है, तो:

{n=1}^∞ an convergent absolutely / {n=1}^∞ an निरपेक्ष रूप से अभिसारी है

{n=1}^∞ an convergent conditionally / {n=1}^∞ an सप्रतिबंध अभिसारी है

{n=1}^∞ an oscillatory / {n=1}^∞ an दोलनी है

{n=1}^∞ an is not convergent / {n=1}^∞ an अभिसारी नहीं है

Let {n=1}^∞ an = {n=1}^∞ (-1)^n ( nx/n²) is a series, then: / मान लीजिए {n=1}^∞ an = {n=1}^∞ (-1)^n ( nx/n²) एक श्रेणी है, तो:

(1) {n=1}^∞ an convergent absolutely / {n=1}^∞ an निरपेक्ष रूप से अभिसारी है Explanation (English): Consider the absolute value of the general term an: |an| = |(-1)^n ( nx/n²)| = (| nx|/n²) Since | nx| ≤ 1 for all real x and all n: |an| ≤ (1/n²) The series {n=1}^∞ (1/n²) is a convergent p-series (p = 2 > 1). By the direct comparison test (and Weierstrass M-test), {n=1}^∞ |an| converges uniformly and absolutely for all x {R}. Hence, the series is absolutely convergent (Option 1). व्याख्या (हिंदी): श्रेणी के व्यापक पद का निरपेक्ष मान: |an| = |(-1)^n ( nx/n²)| = (| nx|/n²) चूंकि किसी भी x के लिए | nx| ≤ 1 होता है: |an| ≤ (1/n²) तुलना परीक्षण (Comparison test) से, चूंकि (1/n²) अभिसारी है, अतः |an| भी अभिसारी होगी। इस प्रकार यह श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी (convergent absolutely) है। विकल्प 1 सही है।

Let {n=1}^∞ an = {n=1}^∞ (-1)^n ( nx/n²) is a series, then:

Q.8

ICAR AIEEA PG 2024 - Statistical Sciences (Q.81)

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin nx}{n^2}$ is a series, then:

मान लीजिए $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin nx}{n^2}$ एक श्रेणी है, तो:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ convergent absolutely $\sum_{n=1}^\infty a_n$ निरपेक्ष रूप से अभिसारी है Correct $\sum_{n=1}^\infty a_n$ convergent conditionally $\sum_{n=1}^\infty a_n$ सप्रतिबंध अभिसारी है $\sum_{n=1}^\infty a_n$ oscillatory $\sum_{n=1}^\infty a_n$ दोलनी है $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is not convergent $\sum_{n=1}^\infty a_n$ अभिसारी नहीं है

Consider the absolute value of the general term $a_n$:

$$|a_n| = \left|(-1)^n \frac{\sin nx}{n^2}\right| = \frac{|\sin nx|}{n^2}$$

Since $|\sin nx| \le 1$ for all real $x$ and all $n$:

$$|a_n| \le \frac{1}{n^2}$$

The series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ is a convergent p-series ($p = 2 \gt 1$).
By the direct comparison test (and Weierstrass M-test), $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converges uniformly and absolutely for all $x \in \mathbb{R}$.

Hence, the series is absolutely convergent (Option 1).

श्रेणी के व्यापक पद का निरपेक्ष मान:

$$|a_n| = \left|(-1)^n \frac{\sin nx}{n^2}\right| = \frac{|\sin nx|}{n^2}$$

चूंकि किसी भी $x$ के लिए $|\sin nx| \le 1$ होता है:

$$|a_n| \le \frac{1}{n^2}$$

तुलना परीक्षण (Comparison test) से, चूंकि $\sum \frac{1}{n^2}$ अभिसारी है, अतः $\sum |a_n|$ भी अभिसारी होगी।
इस प्रकार यह श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी (convergent absolutely) है। विकल्प 1 सही है।

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