If $X$ is a random Poisson variate with $P(X=1) = P(X=2)$, then $P(X=4)$ is:
यदि $X$ एक यादृच्छिक प्वासों चर (Poisson variate) है जिसमें $P(X=1) = P(X=2)$ है, तो $P(X=4)$ का मान है:
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
The probability mass function of a Poisson variate $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ is:
$$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots$$Given $P(X=1) = P(X=2)$:
$$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$$ $$\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$$Dividing both sides by $\lambda e^{-\lambda}$ (since $\lambda \gt 0$):
$$1 = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2$$Now, calculate $P(X=4)$:
$$P(X=4) = \frac{e^{-2} (2)^4}{4!} = \frac{e^{-2} \times 16}{24} = \frac{2e^{-2}}{3}$$Thus, Option 1 is the correct answer.
प्वासों बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन:
$$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$दिया है $P(X=1) = P(X=2)$:
$$\frac{e^{-\lambda} \lambda}{1} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2} \implies 1 = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2$$अब $P(X=4)$ ज्ञात करने पर:
$$P(X=4) = \frac{e^{-2} (2)^4}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2e^{-2}}{3}$$अतः सही उत्तर $\frac{2e^{-2}}{3}$ (विकल्प 1) है।
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