Let random variables $X_1, X_2, \dots, X_k$ follow a multinomial distribution with parameters $n$ and $p_i$ where $i = 1, 2, \dots, k$. What is the value of $\operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ for $i \ne j$?
मान लीजिए यादृच्छिक चर $X_1, X_2, \dots, X_k$ प्राचलों $n$ और $p_i$ (जहाँ $i = 1, 2, \dots, k$) के साथ बहुपदी बंटन का पालन करते हैं। $i \ne j$ के लिए $\operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ का मान क्या होगा?
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Covariance in multinomial distribution:
- positive covariance is impossible because trials are constrained by $\sum X_i = n$; an increase in one outcome necessitates a decrease in others.
- In a multinomial distribution with $n$ trials and probabilities $p_1, \dots, p_k$, the marginal distribution of each $X_i$ is $\operatorname{Binomial}(n, p_i)$ with $\operatorname{Var}(X_i) = n p_i (1 - p_i)$. Because the sum $\sum_{i=1}^k X_i = n$ is fixed, the variables are negatively correlated, and the exact covariance between any two distinct categories $i \ne j$ is $\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = -n p_i p_j$.
- Omits both the negative sign and sample size $n$.
- Lacks the sample size parameter $n$.
बहुपदी बंटन में सहप्रसरण:
- धनात्मक सहप्रसरण संभव नहीं है क्योंकि $\sum X_i = n$ नियत होने के कारण एक श्रेणी में वृद्धि दूसरी श्रेणियों को घटाती है।
- बहुपदी बंटन में $n$ परीक्षणों और प्रायिकताओं $p_1, \dots, p_k$ के लिए प्रत्येक चर का सीमांत बंटन द्विपद होता है। चूंकि कुल योग $n$ स्थिर रहता है, अतः किन्हीं दो भिन्न श्रेणियों $i \ne j$ के मध्य चर ऋणात्मक रूप से संबंधित होते हैं तथा इनका सहप्रसरण $\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = -n p_i p_j$ होता है।
- इसमें $n$ और ऋण चिह्न दोनों अनुपस्थित हैं।
- इसमें परीक्षण संख्या $n$ शामिल नहीं है।
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