If two independent random variables $X$ and $Y$ are binomially distributed with $n_1 = 4, p = 1/3$ and $n_2 = 5, p = 1/3$ respectively, find the mode of the distribution of $(X + Y)$:
यदि दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ क्रमशः $n_1 = 4, p = 1/3$ तथा $n_2 = 5, p = 1/3$ के साथ द्विपद रूप से बंटित हैं, तो $(X + Y)$ के बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Mode of sum of independent binomial variates:
- $3, 2$ would imply bimodal distribution, which occurs only if $(n+1)p$ is an integer.
- By the additive property of the binomial distribution, since $p$ is identical, $Z = X + Y \sim \operatorname{Binomial}(n_1 + n_2, p) = \operatorname{Binomial}(4 + 5, 1/3) = \operatorname{Binomial}(9, 1/3)$. The mode is given by $\lfloor (n + 1)p \rfloor$. Here $(9 + 1) \times (1/3) = 10/3 = 3.333$. Since $10/3$ is non-integral, there is a unique mode equal to the integer part: $\lfloor 3.333 \rfloor = 3$.
- $3, 4$ is incorrect.
- $4$ is the ceiling, not the mode.
द्विपद चरों के योग का बहुलक:
- $3, 2$ द्वि-बहुलकी स्थिति दर्शाता है जो केवल $(n+1)p$ के पूर्णांक होने पर संभव है।
- द्विपद बंटन के योगात्मक गुणधर्म के अनुसार, $Z = X + Y \sim \operatorname{Binomial}(9, 1/3)$ होगा। बहुलक $\lfloor (n + 1)p \rfloor$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $(9 + 1) \times (1/3) = 10/3 = 3.33$ है। चूंकि यह पूर्णांक नहीं है, अतः इसका अद्वितीय बहुलक इसका पूर्णांक भाग $\lfloor 3.33 \rfloor = 3$ होगा।
- $3, 4$ अमान्य है।
- $4$ गलत है।
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