If $X$ and $Y$ are independent Poisson variates, what is the conditional distribution of $X$ given $(X + Y)$?
यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र प्वासों चर हैं, तो $(X + Y)$ दिए जाने पर $X$ का सप्रतिबंध बंटन क्या होगा?
EXPLANATION
Theoretical Discrete Probability Distributions: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric and Hypergeometric
Conditional distribution of independent Poisson variables:
- classical theorem in probability states that if $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1)$ and $Y \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2)$ independently, the conditional distribution of $X$ given $X + Y = n$ is a Binomial distribution with parameters $n$ and success probability $p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$.
- The unconditional distribution of $X + Y$ is Poisson, but the conditional distribution of $X \mid (X+Y)$ is Binomial.
- Negative binomial arises from a Poisson mixture with gamma, not this conditional structure.
- Multinomial arises if conditioning more than two variables.
स्वतंत्र प्वासों चरों का सप्रतिबंध बंटन:
- सांख्यिकी के मानक प्रमेय के अनुसार यदि $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1)$ और $Y \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2)$ स्वतंत्र चर हैं, तो $X + Y = n$ दिए होने पर $X$ का सप्रतिबंध बंटन प्राचलों $n$ तथा $p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}$ के साथ द्विपद बंटन होता है।
- $X + Y$ का कुल बंटन प्वासों होता है, परंतु सप्रतिबंध बंटन द्विपद होता है।
- ऋणात्मक द्विपद यहाँ लागू नहीं होता।
- बहुपदी बंटन दो से अधिक श्रेणियों के लिए होता है।
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