While the asymptotic (large-sample) mean of Pearson's chi-square test for an $r \times s$ contingency table equals its degrees of freedom $(r - 1)(s - 1)$, J.B.S. Haldane (1939) derived the exact mean under conditional multinomial distribution with fixed marginal totals as:
$$E(X^2) = \frac{N}{N - 1}(r - 1)(s - 1)$$Notice that as sample size $N \to \infty$, $\frac{N}{N-1} \to 1$, recovering the standard asymptotic mean $(r - 1)(s - 1)$. Thus, Option 3 is correct.
यद्यपि $r \times s$ प्रसंग सारणी (contingency table) में पियर्सन काई-वर्ग का अनंतस्पर्शी (asymptotic) माध्य $(r - 1)(s - 1)$ होता है, लेकिन जे.बी.एस. हाल्डेन (Haldane, 1939) द्वारा निश्चित उपांत योगों (fixed marginal totals) के तहत व्युत्पन्न सटीक प्रत्याशित मान:
$$E(X^2) = \frac{N}{N - 1}(r - 1)(s - 1)$$होता है। जैसे-जैसे $N \to \infty$, $\frac{N}{N-1} \to 1$ हो जाता है। अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।