Suppose $f$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. If $f(a) = f(b)$, then there exists at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :
मान लीजिए कि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(a) = f(b)$ है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:
EXPLANATION
Differential Calculus & Derivatives
Statement of Rolle's Theorem:
Let $f$ be a function that satisfies the following three hypotheses:
- $f$ is continuous on the closed interval $[a, b]$.
- $f$ is differentiable on the open interval $(a, b)$.
- $f(a) = f(b)$.
Then there exists at least one number $c$ in $(a, b)$ such that $f'(c) = 0$.
Geometrically, this means there is at least one point where the tangent to the curve is horizontal.
Option breakdown: - $f'(c) = 0$ is the exact conclusion of Rolle's Theorem.
- $f'(c) = b - a$ does not follow from any mean value theorem.
- $f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ is invalid.
- $f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$ is invalid.
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) का कथन:
यदि कोई फलन $f$ निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है:
- फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ में सतत हो।
- फलन $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय हो।
- $f(a) = f(b)$ हो।
तब अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ अवश्य उपस्थित होता है जहाँ $f'(c) = 0$ हो।
ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि वक्र पर कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज होगी।
विकल्पों का विश्लेषण: - $f'(c) = 0$ रोल के प्रमेय का सही निष्कर्ष है।
- $b - a$ अमान्य है।
- अमान्य है।
- अमान्य है।
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