Evaluate the value of x ⁻¹ x\, dx: / x ⁻¹ x\, dx का मान ज्ञात कीजिए:

(x²/2)⁻¹ x - (1/2)x + (1/2)⁻¹ x + C

-(x²/2)⁻¹ x + (1/2)x + (1/2)⁻¹ x + C

(x²/2)⁻¹ x + (1/2)x - (1/2)⁻¹ x + C

-(x²/2)⁻¹ x - (1/2)x - (1/2)⁻¹ x + C

(x²/2)⁻¹ x - (1/2)x + (1/2)⁻¹ x + C

Mathematics & Numerical Analysis Practice Questions (Q106-110) - Statistical Sciences

106

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose $f$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. If $f(a) = f(b)$, then there exists at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :

मान लीजिए कि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(a) = f(b)$ है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:

$f'(c) = 0$ $f'(c) = 0$ $f'(c) = b - a$ $f'(c) = b - a$ $f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$

Statement of Rolle's Theorem:
Let $f$ be a function that satisfies the following three hypotheses:

$f$ is continuous on the closed interval $[a, b]$.
$f$ is differentiable on the open interval $(a, b)$.
$f(a) = f(b)$.
Then there exists at least one number $c$ in $(a, b)$ such that $f'(c) = 0$.
Geometrically, this means there is at least one point where the tangent to the curve is horizontal.

Option breakdown:
$f'(c) = 0$ is the exact conclusion of Rolle's Theorem.
$f'(c) = b - a$ does not follow from any mean value theorem.
$f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ is invalid.
$f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$ is invalid.

रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) का कथन:
यदि कोई फलन $f$ निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है:

फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ में सतत हो।
फलन $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय हो।
$f(a) = f(b)$ हो।
तब अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ अवश्य उपस्थित होता है जहाँ $f'(c) = 0$ हो।
ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि वक्र पर कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज होगी।

विकल्पों का विश्लेषण:
$f'(c) = 0$ रोल के प्रमेय का सही निष्कर्ष है।
$b - a$ अमान्य है।
अमान्य है।
अमान्य है।

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107

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there is at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :

यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$

Mean Value Theorem for Definite Integrals:
If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there exists a number $c$ in $[a, b]$ such that:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
This means that the area under the curve between $a$ and $b$ is equal to the area of a rectangle of base $(b - a)$ and height $f(c)$ (the average value of the function).

Option breakdown:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ is the precise mathematical formula for the Mean Value Theorem for Integrals.
Evaluates at fixed point $a$ with incorrect interval difference $(c - b)$.
Evaluates at fixed point $b$ with interval difference $(c - a)$.
Uses derivative $f'(c)$ instead of function value $f(c)$.

निश्चित समाकलनों के लिए मध्यमान प्रमेय:
यदि फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो अंतराल में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ विद्यमान होता है कि:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
इसका ज्यामितीय अर्थ है कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल आधार $(b - a)$ तथा ऊँचाई $f(c)$ वाले आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

विकल्पों का विश्लेषण:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ समाकलन मध्यमान प्रमेय का सही सूत्र है।
अमान्य है।
अमान्य है।
$f(c)$ के स्थान पर अवकलज $f'(c)$ का उपयोग होने से गलत है।

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108

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

For the function $f(x) = \sin x + \cos x$, the point of relative maxima on $[0, 2\pi]$ is given by :

फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ के लिए, अंतराल $[0, 2\pi]$ पर सापेक्ष उच्चिष्ठ का बिंदु है:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$

Finding relative maxima of $f(x) = \sin x + \cos x$ on $[0, 2\pi]$:

First derivative:
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
Setting $f'(x) = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1$.
In $[0, 2\pi]$, solutions are $x = \frac{\pi}{4}$ and $x = \frac{5\pi}{4}$.
Second derivative test:
$f''(x) = -\sin x - \cos x$.
At $x = \frac{\pi}{4}$:
$f''(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \lt 0$, which proves a local maximum.
Function value at $x = \frac{\pi}{4}$:
$f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Thus, the relative maximum point is $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$. Option breakdown:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ is the exact maximum point lying inside $[0, 2\pi]$.
Negative coordinates lie outside the domain $[0, 2\pi]$.
Lies outside the domain $[0, 2\pi]$.
Incorrect negative ordinate $-\sqrt{2}$.

अंतराल $[0, 2\pi]$ में $f(x) = \sin x + \cos x$ का सापेक्ष उच्चिष्ठ बिंदु ज्ञात करना:

प्रथम अवकलज:
$f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \implies \tan x = 1$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में क्रांतिक बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ तथा $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण:
$f''(x) = -\sin x - \cos x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर $f''(\pi/4) = -\sqrt{2} \lt 0$, जो उच्चिष्ठ मान को दर्शाता है।
फलन का मान:
$f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

अतः उच्चिष्ठ बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ है। विकल्पों का विश्लेषण:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ दिए गए अंतराल $[0, 2\pi]$ में सही उच्चिष्ठ बिंदु है।
ऋणात्मक $x$ मान अंतराल $[0, 2\pi]$ से बाहर है।
अंतराल से बाहर है।
कोटि का मान ऋणात्मक $-\sqrt{2}$ नहीं हो सकता।

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109

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Evaluate the value of $\int x \tan^{-1} x\, dx$:

$\int x \tan^{-1} x\, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$-\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $-\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $-\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $-\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$

110

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose that a particle moves on a co-ordinate line so that its velocity at time $t$ is $v(t) = \sqrt{t} - 2$, find the displacement of the particle during the time interval $0 \le t \le 3$:

मान लीजिए कि कोई कण एक निर्देशांक रेखा पर इस प्रकार गति करता है कि समय $t$ पर उसका वेग $v(t) = \sqrt{t} - 2$ है। समय अंतराल $0 \le t \le 3$ के दौरान कण का विस्थापन ज्ञात कीजिए: