The area under the curve y = x on [-(π/2), (π/2)] is given by : / वक्र y = x के अंतर्गत अंतराल [-(π/2), (π/2)] पर क्षेत्रफल होगा :

(1/2) square units / (1/2) वर्ग इकाई

π square units / π वर्ग इकाई

(π/4) square units / (π/4) वर्ग इकाई

गणित एवं संख्यात्मक विश्लेषण Practice Questions (Q111-115) - Statistical Sciences

111

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Evaluate $\iint_R (4xy - y^2)\, dx\, dy$, where $R$ is the rectangle bounded by $x = 1, x = 2, y = 0$ and $y = 3$:

$\iint_R (4xy - y^2)\, dx\, dy$ का मूल्यांकन कीजिए, जहां $R$ आयत $x = 1, x = 2, y = 0$ और $y = 3$ से परिबद्ध है:

18 18 16 16 15 15 14 14

112

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Evaluate $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\log_e x}}\, dx$:

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\log_e x}}\, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ $2\pi^2$ $2\pi^2$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\sqrt{\pi}$ $\sqrt{\pi}$

113

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Find the value of $\int_{-1}^2 |x|\, dx$:

$\int_{-1}^2 |x|\, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

2/5 2/5 3/5 3/5 1/2 1/2 5/2 5/2

114

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ is given by :

$\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ का मान होगा :

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$

Using integration by parts: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
Let $u = \cos^{-1}(2x)$ and $dv = dx$.
Then $du = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$, and $v = x$.

Thus: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. To evaluate the remaining integral, let $w = 1 - 4x^2$, so $dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. Then $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}\int w^{-1/2}dw = -\frac{1}{4}(2w^{1/2}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. Combining terms gives: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. Detailed analysis of options:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ is the correct result.
Uses $\sin^{-1}$ instead of $\cos^{-1}$.
Has a plus sign instead of minus sign.
Uses $\sin^{-1}$ and plus sign.

खंडशः समाकलन (integration by parts) का प्रयोग करने पर: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
माना $u = \cos^{-1}(2x)$ तथा $dv = dx$.
तब $du = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$ और $v = x$.

अतः: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. शेष समाकल हेतु, माना $w = 1 - 4x^2 \implies dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. अतः $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}(2\sqrt{w}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. अंतिम मान: $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ सही उत्तर है।
$\cos^{-1}$ के स्थान पर $\sin^{-1}$ लिखा है।
ऋण चिन्ह के स्थान पर धन चिन्ह लिखा है।
गलत है।

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115

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The area under the curve $y = \cos x$ on $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ is given by :

वक्र $y = \cos x$ के अंतर्गत अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर क्षेत्रफल होगा :

$\frac{1}{2}$ square units $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई 2 square units 2 वर्ग इकाई $\pi$ square units $\pi$ वर्ग इकाई $\frac{\pi}{4}$ square units $\frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई