Let Z₁ = r₁(₁ + i₁) and Z₂ = r₂(₂ + i₂) be two complex numbers, then value of Z₁ Z₂ is : / माना Z₁ = r₁(₁ + i₁) तथा Z₂ = r₂(₂ + i₂) दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो Z₁ Z₂ का मान है:

r₁ r₂ [(₁ + ₂) + i(₁ + ₂)]

r₁ r₂ [(₁ ₂) + i(₁ ₂)]

r₁ r₂ [(₁ + ₂) + i(₁ + ₂)]

r₁ r₂ [(₁ - ₂) + i(₁ - ₂)]

(r₁/r₂) [(₁ + ₂) + i(₁ + ₂)]

Mathematics & Numerical Analysis Practice Questions (Q11-15) - Statistical Sciences

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $z_1$ and $z_2$ be two complex numbers, then dot product of $z_1$ and $z_2$ is :

माना कि $z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ (complex numbers) हैं, तो $z_1$ और $z_2$ का बिंदु गुणनफल (dot product) होगा :

$|z_1||z_2|$ $|z_1||z_2|$ $|z_1||z_2|\sin\theta$ $|z_1||z_2|\sin\theta$ $|z_1||z_2|\cos\theta$ $|z_1||z_2|\cos\theta$ $|z_1||z_2|\tan\theta$ $|z_1||z_2|\tan\theta$

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\frac{5+5i}{3-4i} + \frac{20}{4+3i}$ is given by :

$\frac{5+5i}{3-4i} + \frac{20}{4+3i}$ का मान होगा :

$3 - i$ $3 - i$ $1 + i$ $1 + i$ $\frac{5}{2} - \frac{i}{2}$ $\frac{5}{2} - \frac{i}{2}$ $-2 + 9i$ $-2 + 9i$

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $i^i, (i^2 = -1)$ is:

$i^i, (i^2 = -1)$ का मान क्या होगा?

$0$ $0$ $1$ $1$ $-1$ $-1$ $e^{-\pi/2}$ $e^{-\pi/2}$

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $3x + 2iy - ix + 5y = 7 + 5i$. Then the values of $x$ and $y$ respectively are given by:

मान लीजिए $3x + 2iy - ix + 5y = 7 + 5i$ है। तब $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

$-1, 2$ $-1, 2$ $2, -1$ $2, -1$ $-8, 3$ $-8, 3$ $1, -2$ $1, -2$

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $Z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ and $Z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ be two complex numbers, then value of $Z_1 Z_2$ is :

माना $Z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ तथा $Z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो $Z_1 Z_2$ का मान है:

$r_1 r_2 [\cos(\theta_1 \theta_2) + i\sin(\theta_1 \theta_2)]$ $r_1 r_2 [\cos(\theta_1 \theta_2) + i\sin(\theta_1 \theta_2)]$ $r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$ $r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$ $r_1 r_2 [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$ $r_1 r_2 [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$ $\frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$ $\frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$

Multiplication of complex numbers in polar (trigonometric) form:
When multiplying two complex numbers $Z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ and $Z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$, their moduli multiply and their arguments add:
$Z_1 Z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$.

Option breakdown:

Angles are multiplied, which is mathematically incorrect.
Moduli multiply and arguments add, which is the correct polar product identity.
Arguments are subtracted, which corresponds to division $Z_1 / Z_2$, not multiplication.
Moduli are divided, which corresponds to division, not multiplication.

ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल:
जब दो सम्मिश्र संख्याओं $Z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ तथा $Z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ का गुणा किया जाता है, तो उनके मापांकों का गुणनफल होता है तथा उनके कोणांक आपस में जुड़ जाते हैं:
$Z_1 Z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$.

विकल्पों का विश्लेषण: