The solution of the differential equation (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 is given by : / अवकल समीकरण (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 का हल है:

y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^x + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{2x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{-2x} + C₂ 2x + C₃ 2x

गणित एवं संख्यात्मक विश्लेषण Practice Questions (Q131-135) - Statistical Sciences

131

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $xy'' + y' = 4x$ is given by :

अवकल समीकरण $xy'' + y' = 4x$ का हल होगा :

$y = x^3 + C_1 \ln x + C_2$ $y = x^3 + C_1 \ln x + C_2$ $y = x^2 + C_1 \ln x + C_2$ $y = x^2 + C_1 \ln x + C_2$ $y = e^x + C_1 \ln x + C_2$ $y = e^x + C_1 \ln x + C_2$ $y = e^{-x} + C_1 \ln x + C_2$ $y = e^{-x} + C_1 \ln x + C_2$

132

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ is given by :

अवकल समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ का हल होगा :

$x = (C_1 + C_2 t)e^{3t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{3t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{-3t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{5t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{5t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{-5t}$ $x = (C_1 + C_2 t)e^{-5t}$

133

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $(1 + y e^{xy})dx + (2y + x e^{xy})dy = 0$ is given by :

अवकल समीकरण $(1 + y e^{xy})dx + (2y + x e^{xy})dy = 0$ का हल है:

$x + e^{xy} + y^2 = C$ $x + e^{xy} + y^2 = C$ $y + e^{xy} + x^2 = C$ $y + e^{xy} + x^2 = C$ $e^x + xy + e^y = C$ $e^x + xy + e^y = C$ $e^x - xy + e^y = C$ $e^x - xy + e^y = C$

Solution of exact first-order differential equations: Standard form: $M dx + N dy = 0$, where: $M = 1 + y e^{xy} \implies \frac{\partial M}{\partial y} = e^{xy} + xy e^{xy}$. $N = 2y + x e^{xy} \implies \frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy} + xy e^{xy}$. Since $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, the equation is exact. The general solution is $\int M dx + \int (\text{terms of } N \text{ not containing } x) dy = C$: $\int (1 + y e^{xy}) dx = x + e^{xy}$. $\int (2y) dy = y^2$. Combining gives $x + e^{xy} + y^2 = C$. Option breakdown:

$x + e^{xy} + y^2 = C$ is the exact potential function.
Swaps the roles of $x$ and $y$.
Incorrect algebraic terms.
Incorrect algebraic terms.

यथातथ (Exact) अवकल समीकरण का हल:
मानक रूप $M dx + N dy = 0$, जहाँ:
$M = 1 + y e^{xy} \implies \frac{\partial M}{\partial y} = e^{xy} + xy e^{xy}$.
$N = 2y + x e^{xy} \implies \frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy} + xy e^{xy}$.
चूँकि $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ है, अतः यह एक यथातथ अवकल समीकरण है।
व्यापक हल:
$\int M dx$ ($y$ को अचर मानकर) $+ \int (N$ के वे पद जिनमें $x$ न हो) $dy = C$:
$\int (1 + y e^{xy}) dx = x + e^{xy}$.
$\int 2y \, dy = y^2$.

अतः अभीष्ट हल $x + e^{xy} + y^2 = C$ है। विकल्पों का विश्लेषण:

$x + e^{xy} + y^2 = C$ सही हल है।
$x$ और $y$ के पद बदले हुए हैं।
गलत पद हैं।
गलत पद हैं।

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134

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $x\frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ is given by :

अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ का हल है:

$x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$ $x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$ $x^5 y^3 (2.5 + c x^2) = 1$ $x^5 y^3 (2.5 + c x^2) = 1$ $x^3 y^5 (2.5 + c y^2) = 1$ $x^3 y^5 (2.5 + c y^2) = 1$ $x^5 y^3 (2.5 + c y^2) = 1$ $x^5 y^3 (2.5 + c y^2) = 1$

Solution of Bernoulli differential equation: Divide both sides by $x y^6$: $y^{-6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-5} = x^2$. Let $v = y^{-5} \implies \frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx} \implies y^{-6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$. Substituting into the equation: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = x^2 \implies \frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$. Integrating Factor (I.F.): $\text{I.F.} = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5\ln x} = x^{-5}$. Solution for $v$: $v \cdot x^{-5} = \int (-5 x^2)(x^{-5}) dx = -5 \int x^{-3} dx = -5 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = 2.5 x^{-2} + c$. Multiplying by $x^5$: $v = 2.5 x^3 + c x^5 = x^3 (2.5 + c x^2)$. Since $v = y^{-5} = \frac{1}{y^5}$: $\frac{1}{y^5} = x^3 (2.5 + c x^2) \implies x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$. Option breakdown:

$x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$ is the exact solution.
Swaps exponents of $x$ and $y$.
Has $y^2$ inside the parentheses instead of $x^2$.
Swaps exponents and has $y^2$ inside parentheses.

बरनौली अवकल समीकरण का हल:
समीकरण के दोनों पक्षों को $x y^6$ से भाग देने पर:
$y^{-6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-5} = x^2$.
माना $v = y^{-5} \implies \frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में रखने पर:
$\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$.
समाकलन गुणक (I.F.):
$\text{I.F.} = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = x^{-5}$.
$v$ का हल:
$v \cdot x^{-5} = \int -5 x^{-3} dx = 2.5 x^{-2} + c$.
$x^5$ से गुणा करने पर:
$v = x^3 (2.5 + c x^2)$.
$v = y^{-5}$ रखने पर:
$\frac{1}{y^5} = x^3 (2.5 + c x^2) \implies x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$.

विकल्पों का विश्लेषण:

$x^3 y^5 (2.5 + c x^2) = 1$ सही हल है।
$x$ और $y$ की घातें बदली हुई हैं।
कोष्ठक में $x^2$ के स्थान पर $y^2$ है।
पूर्णतः त्रुटिपूर्ण है।

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135

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ is given by :

अवकल समीकरण $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ का हल है:

$y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$